Matematika je to, čímkontrolovať prírodu a sami.
Sovietsky matematik, akademik A.N. Kolmogorov
Geometrický progresia.
Spolu s úlohami pre aritmetickú progresiu sú problémy spojené s koncepciou geometrického progresie spoločné na prijímacích skúškach v matematike. Ak chcete úspešne vyriešiť takéto úlohy, je potrebné poznať vlastnosti geometrického progresie a mať dobré využitie zručnosti.
Tento článok je venovaný prezentácii hlavných vlastností geometrického progresie. Tu sú príklady riešení typických úloh., Požičané z úloh vstupných testov v matematike.
Predtým všimli základné vlastnosti geometrického progresie a pripomínajú najdôležitejšie vzorce a schválenie, s touto koncepciou.
Definícia. Numerická sekvencia sa nazýva geometrický pokrok, ak každý z jeho čísla začína od druhej rovnej k predchádzajúcemu vynásobeniu rovnakým číslom. Číslo sa nazýva denominátor geometrického progresie.
Pre geometrický progresiuformuláry sú platné
, (1)
kde. Vzorec (1) sa nazýva vzorec všeobecného člena geometrického progresie a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou geometrického progresie: každý člen progresie sa zhoduje s priemerným geometrickým susedným členom a.
Poznámka Čo presne kvôli tomuto majetku sa posudzuje progresia "Geometric".
Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zovšeobecnené takto: \\ t
, (3)
Vypočítať sumu najprv Členov geometrického postupu Vzorec sa aplikuje
Ak označíte, potom
kde. Pretože vzorec (6) je zovšeobecnenie vzorca (5).
V prípade, keď a geometrický postup je nekonečne znižuje. Vypočítať sumuvšetci členovia nekonečne znižovania geometrického progresia sa používajú vzorec
. (7)
Napríklad , S pomocou vzorca (7) môžete zobraziť, čo
kde. Tieto rovnosti sa získavajú zo vzorca (7), za predpokladu, že (prvá rovnosť) a (druhá rovnosť).
Teorem. Ak potom
Dôkazov. Ak potom
Theorem sa dokáže.
Poďme sa obrátiť na zváženie príkladov riešenia problémov na tému "geometrický progress".
Príklad 1. Dano:, a. Nájsť .
Rozhodnutie. Ak sa použije vzorec (5), potom
Odpoveď:.
Príklad 2.Nechaj to tak. Nájsť .
Rozhodnutie. Vzhľadom k tomu, že používame vzorce (5), (6) a získame systém rovníc
Ak je druhá rovnica (9) rozdelená na prvú, potom alebo. Preto I. . Zvážte dva prípady.
1. ak, Potom z prvej rovnice systému (9) máme.
2. Ak potom.
Príklad 3.A. Nájsť .
Rozhodnutie. Z formulára (2) Z toho vyplýva, že Or. Od, potom alebo.
Podmienkou. Avšak, teda. Odvzdušnenie Potom tu má systém rovníc
Ak je druhá rovnica systému rozdelená na prvú, potom alebo.
Vzhľadom k tomu, rovnica má jediný vhodný koreň. V tomto prípade z prvej rovnice systémových tokov.
Berúc do úvahy vzorca (7), dostaneme.
Odpoveď:.
Príklad 4.Danar: a. Nájsť .
Rozhodnutie. Odvtedy.
Od, potom alebo
Podľa vzorca (2) máme. V tomto ohľade z rovnosti (10) dostaneme alebo.
Avšak podľa podmienok.
Príklad 5. Je známe, že. Nájsť .
Rozhodnutie. Podľa teorem máme dve vyrovnanie
Od, potom alebo. Odvtedy.
Odpoveď:.
Príklad 6. Danar: a. Nájsť .
Rozhodnutie. Berúc do úvahy vzorca (5), dostaneme
Odvtedy. Vzhľadom k tomu, a potom.
Príklad 7. Nechaj to tak. Nájsť .
Rozhodnutie. Podľa vzorca (1) môžete nahrávať
Preto máme Or. Je preto známe.
Odpoveď:.
Príklad 8. Nájdite denominátor nekonečného klesajúceho geometrického pokroku, ak
a.
Rozhodnutie. Z formulára (7) nasleduje a . Odtiaľ z podmienok úlohy získavame systém rovníc
Ak je prvá rovnica systému postaviť námestie, a potom získaná rovnica je rozdelená na druhú rovnicu, Dostávam
Alebo.
Odpoveď:.
Príklad 9. Nájdite všetky hodnoty, v ktorých je sekvencia geometrický pokrok.
Rozhodnutie. A. Podľa vzorca (2), ktorý nastaví základnú vlastnosť geometrického progresie, môže byť zaznamenané alebo.
Odtiaľ dostaneme štvorcovú rovnicu, Korene sú a.
Vykonajte kontrolu: akpotom; Ak potom a.
V prvom prípade máme A v druhej - a. \\ T
Odpoveď: ,.
Príklad 10.Riešiť rovnicu
, (11)
kde a.
Rozhodnutie. Ľavá časť rovnice (11) je súčtom nekonečného klesajúceho geometrického progresie, v ktorom je poskytovaná: a.
Z formulára (7) nasleduje, čo . V tejto súvislosti trvá rovnica (11) alebo . Vhodný koreň štvorcová rovnica je
Odpoveď:.
Príklad 11.Strhnúť zmluva o kladnom počte Tvorí aritmetický postup, ale - geometrický postup, čo to má robiť. Nájsť .
Rozhodnutie.Ako aritmetická sekvenciaT. (Hlavný majetok aritmetického progresie). V prípade, potom alebo. To znamená, Táto geometrická progresia má formulár. Podľa vzorca (2), potom to napíšte.
Ako to je . V tomto prípade výraz zobrazí pohľad alebo. Podmienkou, Preto z rovnice Získame jediné riešenie problému. .
Odpoveď:.
Príklad 12.Vypočítať sumu
. (12)
Rozhodnutie. Vynásobte 5 častí rovnosti (12) a získajte
Ak je vyplývajúci z výsledného výrazu (12)T.
alebo.
Pre výpočet nahrádzame vo vzorci (7) hodnôt a dostaneme. Odvtedy.
Odpoveď:.
Príklady riešenia riešení tu budú užitočné pre žiadateľov pri príprave na úvodné testy. Pre hlbšiu štúdiu metód riešenia problémov, spojené s geometrickým pokrokom, môže byť použité návody Zo zoznamu odporúčanej literatúry.
1. Zber problémov v matematike pre prichádzajúce v pôde / ed. M.I. Schanavi. - M.: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 p.
2. Suprun v.p. Matematika pre študentov stredných škôl: Ďalšie časti školského programu. - m.: LENAND / URSS, 2014. - 216 p.
3. Medical M.M. Úplný priebeh základnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné sekvencie a progresia. - m.: ODITUS, 2015. - 208 p.
Máte otázky?
Ak chcete získať pomocníka - zaregistrujte sa.
miesto, s plným alebo čiastočným kopírovaním materiálu odkazu na pôvodný zdroj.
Geometrický postup Nemenej dôležité v matematike v porovnaní s aritmetikou. Geometrický pokrok sa nazýva taká sekvencia čísel B1, B2, ..., B [n] Každý nasledujúci výraz sa získa vynásobením predchádzajúceho čísla. Toto je číslo, ktoré tiež charakterizuje rýchlosť rastu alebo poklesu progresie geometrický progresia menovateľa A označujú
Pre úplnú úlohu geometrického progresie, okrem denominátora, je potrebné poznať alebo definovať svoj prvý termín. Pre pozitívna hodnota Dennominátorový progress je monotónna sekvencia, a ak je táto postupnosť čísel monotónne klesá a s monotónne rastúcimi. Prípad, keď sa denominátor rovná jednej praxi, pretože máme postupnosť identických čísel a ich summovanie nespôsobuje praktický záujem.
Generálny člen geometrického progresie Vypočítať vzorcom
Suma n prvých členov geometrického progresie Určite vzorec
Zvážte riešenia klasických úloh na geometrickú progresiu. Začnime pochopiť najjednoduchšie.
Príklad 1. Prvý člen geometrického progresie je 27 a jeho menovateľ je 1/3. Nájdite šesť prvej geometrickej progresie.
Riešenie: Napíšte stav problému vo forme
Pre výpočty používame vzorec N-TH člen geometrického progresie
Na základe toho nájdeme neznáme členov progresie
Ako sa dá uistiť, že výpočty členov geometrického progresie sú jednoduché. Samotná progresia bude vyzerať takto
Príklad 2. Existujú tri prvý člen geometrického progresie: 6; -12; 24. Nájdite denominátor a siedmy jej péro.
Riešenie: Vypočítajte denominátor geomitného progresie na základe jeho definície
Dostal alternatívny geometrický progresiu denominátora, ktorého je -2. Siedmy člen vypočíta všeobecný vzorec
Na tomto probléme je vyriešený.
PRÍKLAD 3. Geometrický progresia stanovuje dvaja členovia 
. Nájdite desiaty člen progresie.
Rozhodnutie:
Zapíšeme zadané hodnoty prostredníctvom vzorcov
Podľa pravidiel by bolo potrebné nájsť menovateľa a potom hľadať požadovanú hodnotu, ale máme pre desiateho člena
Rovnaký vzorec je možné získať na základe neľútostných manipulácií so vstupnými údajmi. Rozdeľujeme šiesty člen riadku do druhého, v dôsledku toho sa dostaneme
Ak hodnota sa líši na šiestom členovi, dostaneme desatinu
Tak, pre takéto problémy s pomocou jednoduchých transformácií rýchly spôsob Správne riešenie nájdete.
Príklad 4. Geometrický progress je daný rekurentnými vzorcami
Nájdite geometrický progresie denominátora a súčet prvých šiestich členov.
Rozhodnutie:
Píšeme uvedené údaje vo forme systému rovníc
Vyjadriť denominátor, ktorý prináša druhú rovnicu
Nájdite prvý termín progresie prvej rovnice
Vypočítame nasledujúcich päť členov, aby sme našli množstvo geometrického progresie
Výučba
10, 30, 90, 270...
Je potrebné nájsť menovateľa geometrického progresie.
Rozhodnutie:
1 možnosť. Urobte ľubovoľné obdobie progresie (napríklad 90) a rozdeľte ho na predchádzajúcej (30): 90/30 \u003d 3.
Ak je známy súčet niekoľkých členov geometrického progresie alebo súčet všetkých členov klesajúceho geometrického progresie, potom nájsť denominátor progresie, použite príslušné vzorce:
Sn \u003d B1 * (1-Q ^ n) / (1-Q), kde SN je súčtom prvých členov geometrického progresie a
S \u003d B1 / (1-Q), kde S je súčtom nekonečne znižovania geometrického progresie (súčet všetkých členov progresie s nominštalom menšej jednotky).
Príklad.
Prvý termín geometrického pokroku stmievania sa rovná jednej a súčet všetkých jej členov je dva.
Je potrebné určiť denominátor tohto progresie.
Rozhodnutie:
Podávajte údaje z úlohy vo vzorci. Ukázalo sa:
2 \u003d 1 / (1-Q), odkiaľ q \u003d 1/2.
Progresia je sekvencia čísel. V geometrickom progresii sa každý nasledujúci termín dosiahne vynásobením predchádzajúceho čísla Q, nazývanom denominátorom progresie.
Výučba
Ak sú známe dva susedné geometrické b (n + 1) a B (n), ktoré získajú denominátor, je potrebné rozdeliť číslo s veľkým na predchádzajúce: q \u003d B (n + 1) / b (n). To vyplýva z určovania progresie a jeho menovateľa. Dôležitou podmienkou je nerovnosť nula prvého člena a denominátora progresie, inak sa považuje za neistý.
Medzi členmi progresie sú teda vytvorené nasledujúce vzťahy: B2 \u003d B1 Q, B3 \u003d B2 Q, ..., B (N) \u003d B (n - 1) q. Podľa vzorca B (n) \u003d B1 Q ^ (N-1), môže sa vypočítať ktorýkoľvek člen geometrického progresie, v ktorom je známy menovateľ Q a člen B1. Každá z progresie modulu sa tiež rovná priemeru svojich susedných členov: | B (n) | \u003d √, teda progresia a dostal si vlastný.
Analóg geometrického progresie je najjednoduchšia orientačná funkcia y \u003d A ^ x, kde X je v indikátore stupňa, A je číslo. V tomto prípade sa denominátor progresie zhoduje s prvým členom a rovná číslu a. Pod hodnotu funkcie Y môžete pochopiť n-th člena Progresia, ak je Argument X odobratý pre prirodzené číslo n (pult).
Existuje pre súčet prvého n člena geometrického progresie: S (n) \u003d B1 (1-Q ^ n) / (1-Q). Tento vzorec je platný pre q ≠ 1. Ak Q \u003d 1, potom je súčet prvých n členov vypočíta vzorca S (n) \u003d N B1. Mimochodom, postup sa bude nazývať zvýšením s väčšou jednotkou a pozitívnym B1. S denominátorom progresie, modul neprekročí jednotku, postup bude odkazovaný.
Špeciálny prípad geometrického progresie je nekonečne znižuje geometrickú progresiu (b.u.g.p.). Faktom je, že členovia klesajúcej geometrickej progresie sa časom znížia, ale nikdy nedosiahli nulu. Napriek tomu môžete nájsť množstvo všetkých členov takého progresie. Je určený vzorcom S \u003d B1 / (1-Q). Celková suma Členovia N nekonečne.
Jasne si predstavte, ako pridať nekonečný počet čísel a nedostanete nekonečno, piecť tortu. Znížiť polovicu. Potom rezať 1/2 z polovice, a tak ďalej. Kusy, ktoré budete získajú, nie sú nič viac ako členovia nekonečne znižovania geometrického progresie s menovateľom 1/2. Ak ste zložili všetky tieto kusy, dostanete pôvodný koláč.
Úlohy pre geometriu sú špeciálnym druhom cvičenia, ktorý si vyžaduje priestorové myslenie. Ak nemôžete vyriešiť geometrické Úloha, Snažte sa dodržiavať nižšie uvedené pravidlá.
Výučba
Čítajte veľmi pozorne podmienku úlohy, ak nie je niečo, čo nie je spomenuté, alebo nerozumel, znova prečítajte.
Snažte sa určiť, aký typ geometrických úloh, napríklad, napríklad: Computing, keď potrebujete vedieť ľubovoľnú hodnotu, úlohy, ktoré si vyžadujú logický reťazec odôvodnenia, úlohy pre budovanie s pomocou obehu a pravítkom. Viac úloh zmiešaného typu. Keď zistíte typ úlohy, pokúste sa logicky hádať.
Aplikujte potrebnú teorem pre túto úlohu, ak existujú pochybnosti, alebo nie sú žiadne možnosti vôbec, potom sa pokúste zapamätať si teóriu, ktorú ste prešli podľa príslušnej témy.
Problému vypovedať aj na návrhu. Pokúste sa aplikovať dobre známe spôsoby, ako overiť lojalitu vášho rozhodnutia.
Oneskoďte riešenie úlohy starostlivo v notebooku, bez blotov a prechodu, a čo je najdôležitejšie - je možné vyriešiť prvé geometrické úlohy a čas. Avšak, hneď ako zvládnete tento proces - začnite kliknúť na úlohy softvéru ako orechy, získať potešenie z neho!
Geometrická progresia je taká sekvencia čísel B1, B2, B3, ..., B (N-1), B (n), ktoré B2 \u003d B1 * Q, B3 \u003d B2 * Q, ..., B (N ) \u003d B (n - 1) * Q, B1 ≠ 0, Q ≠ 0. Inými slovami, každý člen progresie sa získa z predchádzajúceho množenia z neho na nejaký nonzero menovateľ prednosti Q.
Výučba
Úlohy pre progresiu sú najčastejšie riešené prípravou a následným systémom v porovnaní s prvým členom progresie B1 a denominátorom prednej časti Q. Na kompiláciu rovníc je užitočné zapamätať si niektoré vzorce.
Ako vyjadriť n-th člena progresie po prvom termíne progresie a menovateľ progresie: B (n) \u003d B1 * q ^ (n-1).
Zvážte samostatný prípad Q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Lekcia a prezentácia na tému: "Číselné sekvencie. Geometrický progress"
Ďalšie materiály
Vážení používatelia, nezabudnite opustiť svoje komentáre, recenzie, priania! Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Tréningové príručky a simulátory v on-line obchode "Integral" pre triedu 9
Stupne a korene funkcie a grafika
Chlapci, dnes predstavíme ďalší typ progresie.
Témou dnešnej lekcie je geometrická progresia.
Geometrický postup
Definícia. Numerická sekvencia, v ktorej je každý člen počínajúci od druhého rovný produktu predchádzajúceho a niektoré pevné číslo sa nazýva geometrický pokrok.Nastavme našu sekvenciu rekurencie: $ b_ (1) \u003d b $, $ b_ (n) \u003d b_ (n - 1) * q $
kde b a q sú určité špecifikované čísla. Číslo Q sa nazýva denominátor progresie.
Príklad. 1,2,4,8,16 ... geometrický postup, v ktorom je prvý termín rovný jednému, a $ q \u003d $ 2.
Príklad. 8,88,88 ... geometrický postup, ktorý sa rovná osem,
$ Q \u003d 1 $.
Príklad. 3, -3.3, -3.3 ... geometrický progresia, ktorý je prvým členom rovný tri, \\ t
$ Q \u003d -1 $.
Geometrická progresia má monotónne vlastnosti.
Ak $ B_ (1)\u003e 0 $, $ Q\u003e $ 1,
potom sa sekvencia zvyšuje.
Ak $ B_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Sekvencia je považovaná za označenú vo forme: $ B_ (1), B_ (2), B_ (3), ..., B_ (N), ... $.
Aj v aritmetickej progresii, ak je v geometrickom progresii počet prvkov kurzu, potom sa progresia nazýva konečný geometrický postup.
$ B_ (1), B_ (2), B_ (3), ..., B_ (N - 2), B_ (N - 1), B_ (N) $.
Poznámka Ak je sekvencia geometrickým progresiou, sekvencia štvorcov členov je tiež geometrickým progresiou. V druhej sekvencii je prvý termín $ b_ (1) ^ 2 $ a denominátor je $ q ^ 2 $.
Vzorec N-Bous člen geometrického progresie
Geometrická progresia je možné nastaviť v analytickej forme. Pozrime sa, ako to urobiť:$ b_ (1) \u003d b_ (1) $.
$ b_ (2) \u003d b_ (1) * Q $.
$ B_ (3) \u003d B_ (2) * Q \u003d B_ (1) * Q * Q \u003d B_ (1) * Q ^ 2 $.
$ b_ (4) \u003d b_ (3) * q \u003d b_ (1) * q ^ $ 3.
$ b_ (5) \u003d b_ (4) * q \u003d b_ (1) * q ^ 4 $.
Ľahko si všimneme vzor: $ b_ (n) \u003d b_ (1) * q ^ (n-1) $.
Náš vzorec sa nazýva "vzorec N-CO člen geometrického progresie."
Poďme sa vrátiť k našim príkladom.
Príklad. 1,2,4,8,16 ... geometrický postup, v ktorom je prvý termín rovný jednému,
$ Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.
Príklad. 16,84,2,11 / 2 ... geometrický postup, v ktorom je prvý termín je šestnásť, a $ q \u003d frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (\\ frac (1) (2)) ^ (n - 1) $.
Príklad. 8,88,88 ... Geometrická progresia, v ktorej je prvý termín osem, a $ q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.
Príklad. 3, -3.3, -3.3 ... geometrický postup, v ktorom je prvý termín rovný tri, a $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.
Príklad. Geometrický progresia $ B_ (1), B_ (2), ..., B_ (N), ... $.
a) Je známe, že $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d $ 3. Nájsť $ b_ (5) $.
b) Je známe, že $ B_ (1) \u003d 6, Q \u003d 2, B_ (N) \u003d $ 768. Nájsť N.
c) Je známe, že $ q \u003d -2, B_ (6) \u003d $ 96. Nájsť $ b_ (1) $.
d) Je známe, že $ B_ (1) \u003d - 2, B_ (12) \u003d $ 4096. Nájdite Q.
Rozhodnutie.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d 486 USD.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d frac (768) (6) \u003d 128 $, pretože $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e N - 1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e B_ (1) \u003d - $ 3.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.
Príklad. Rozdiel medzi siedmimi a piatymi členmi geometrického progresie je 192, množstvo piateho a šiesteho člena progresie je 192. Nájdite desiaty člen tohto progresie.
Rozhodnutie.
Vieme, že: $ b_ (7) -b_ (5) \u003d 192 $ a $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Tiež vieme: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Potom:
$ B_ (1) * q ^ 6-b_ (1) * q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * q ^ 5 \u003d 192 $.
Prijatý systém rovníc:
$ spustite (kufre) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 end (prípady) $.
Príprava sa získajú naše rovnice:
$ B_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d q + 1 $.
$ Q ^ 2-Q-2 \u003d 0 $.
Prijaté dva riešenia Q: $ q_ (1) \u003d 2, Q_ (2) \u003d - 1 $.
Náhradne nahrádzame druhú rovnicu:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e B_ (1) \u003d $ 4.
$ B_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ žiadne riešenia.
Prijaté ako: $ b_ (1) \u003d 4, q \u003d $ 2.
Nájdeme desiaty člen: $ b_ (10) \u003d b_ (1) * q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048.
Množstvo konečného geometrického progresie
Dovoľte nám, aby sme mali konečnú geometrickú progresiu. Poďme, rovnako ako pre aritmetický progresie, považujeme výšku svojich členov.Nechajte konečnú geometrickú progresiu danú: $ B_ (1), B_ (2), ..., B_ (N - 1), B_ (N) $.
Predstavujeme označenie súčtu svojich členov: $ s_ (n) \u003d b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $.
V prípade, keď $ q \u003d 1 $. Všetci členovia geometrického progresie sú rovné prvého člena, potom je zrejmé, že $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Zvážte teraz prípad $ q ≠ $ 1.
Vynásobte vyššie uvedenú sumu za Q.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + B_ (n - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * q $.
Poznámka:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (n) * q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q $.
$ S_ (n) * q-s_ (n) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * q-b_ (1) - (B_ (2) ) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * q-b_ (1) $.
$ S_ (n) (Q-1) \u003d B_ (N) * Q-B_ (1) $.
$ S_ (n) \u003d frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * q-b_ (1)) (Q-1) \u003d frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.
$ S_ (n) \u003d frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.
Získali sme vzorec množstva konečného geometrického progresie.
Príklad.
Nájdite súčet prvých siedmich členov geometrického progresie, v ktorom je prvý termín 4 a denominátor 3.
Rozhodnutie.
$ S_ (7) \u003d frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.
Príklad.
Nájdite piaty člen geometrického progresie, ktorý je známy: $ b_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (n) \u003d - $ 4095.
Rozhodnutie.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n - 1) \u003d - $ 3072.
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $.
$ Q ^ (n) \u003d 1024Q $.
$ S_ (n) \u003d frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (Q-1) \u003d - $ 4095.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
$ 1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d $ 1364.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.
Charakteristický majetok geometrického progresie
Geometrický progress. Pozrime sa na troch po sebe idúcich členov: $ b_ (n - 1), b_ (n), b_ (n + 1) $.My to vieme:
$ Frac (b_ (n)) (q) \u003d b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q \u003d b_ (n + 1) $.
Potom:
$ Frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q \u003d b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
Ak je progresia konečným, potom sa táto rovnosť vykonáva pre všetkých členov, okrem prvého a posledného.
Ak nie je vopred známy, aký druh sekvencie, ale je známe, že: $ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
Potom môžete bezpečne povedať, že ide o geometrickú progresiu.
Numerická sekvencia je geometrický pokrok, len keď je námestie každého člena rovný produktom dvoch susedných progresie s ním. Nezabudnite, že pre konečnú progresiu sa táto podmienka nevykonáva pre prvý a posledný člen.
Pozrime sa na túto identitu: $ SQRT (B_ (N) ^ (2)) \u003d SQRT (B_ (N - 1) * B_ (N + 1)) $.
$ | B_ (N) | \u003d SQRT (B_ (N - 1) * B_ (N + 1)) $.
$ SQRT (A * B) $ Priemer geometrické čísla a a b.
Modul akéhokoľvek člena geometrického progresie sa rovná priemernému geometrickému dvom členom susediacim.
Príklad.
Nájsť takéto X, ktoré by bolo $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ bol tri po sebe idúcim členom geometrického progresie.
Rozhodnutie.
Používame charakteristické vlastnosti:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ a $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Náhradne v pôvodnom výraze, naše riešenia:
Na $ x \u003d $ 2, postupnosť bola získaná: 4; 6; 9 - geometrický progresia, v ktorom $ q \u003d $ 1,5 $.
Za $ x \u003d -1 $, prijaté poradie: 1; 0; 0.
Odpoveď: $ x \u003d 2. $
Úlohy pre vlastné riešenia
1. Nájdite ôsmy prvý člen geometrického progresie 16; -8; 4; -2 ....2. Nájdite desiaty člen geometrického progresie 11,22,44.
3. Je známe, že $ b_ (1) \u003d 5, q \u003d $ 3. Nájsť $ b_ (7) $.
4. Je známe, že $ b_ (1) \u003d 8, q \u003d -2, b_ (n) \u003d 512 $. Nájsť N.
5. Nájdite sumu prvých 11 členov geometrického progresie 3; 12; 48 ....
6. Nájdite tak, že $ 3x + 4; 2x + 4; X + 5 $ sú tri po sebe idúcim členom geometrického progresie.