Trikampis yra vienas iš labiausiai paplitusių geometrines figūras, su kuriais esame susipažinę pradinė mokykla. Klausimas, kaip rasti trikampio plotą, iškyla kiekvienam studentui geometrijos pamokose. Taigi, kokias tam tikros figūros ploto radimo ypatybes galima išskirti? Šiame straipsnyje mes apsvarstysime pagrindines formules, reikalingas tokiai užduočiai atlikti, taip pat išanalizuosime trikampių tipus.
Trikampių tipai
Trikampio plotą galite rasti visiškai skirtingais būdais, nes geometrijoje yra daugiau nei vieno tipo figūros, kuriose yra trys kampai. Šie tipai apima:
- bukas.
- Lygiakraščiai (teisinga).
- Taisyklingas trikampis.
- Lygiašonis.
Pažvelkime į kiekvieną iš jų atidžiau esamų tipų trikampiai.
Tokia geometrinė figūra laikoma labiausiai paplitusi sprendžiant geometrines problemas. Kai prireikia nupiešti savavališką trikampį, ši parinktis ateina į pagalbą.
Smailiame trikampyje, kaip rodo pavadinimas, visi kampai yra smailūs ir sumuojami iki 180°.
Toks trikampis taip pat yra labai paplitęs, tačiau yra šiek tiek retesnis nei smailaus kampo. Pavyzdžiui, sprendžiant trikampius (tai yra, jūs žinote keletą jo kraštinių ir kampų ir turite rasti likusius elementus), kartais reikia nustatyti, ar kampas yra bukas, ar ne. Kosinusas yra neigiamas skaičius.
Vieno iš kampų vertė viršija 90°, todėl likę du kampai gali turėti mažas vertes (pavyzdžiui, 15° ar net 3°).
Norėdami rasti tokio tipo trikampio plotą, turite žinoti kai kuriuos niuansus, apie kuriuos kalbėsime toliau.
Taisyklingasis ir lygiašonis trikampis
Taisyklingas daugiakampis yra figūra, kurią sudaro n kampų, kurių visos kraštinės ir kampai yra lygūs. Tai yra stačiakampis trikampis. Kadangi visų trikampio kampų suma yra 180°, kiekvienas iš trijų kampų yra 60°.
Statusis trikampis dėl savo savybių dar vadinamas lygiakrašte figūra.
Taip pat verta paminėti, kad į taisyklingąjį trikampį galima įrašyti tik vieną apskritimą, o aplink jį – tik vieną apskritimą, o jų centrai yra viename taške.
Be lygiašonio tipo, galima išskirti ir lygiašonį trikampį, kuris nuo jo šiek tiek skiriasi. Tokiame trikampyje dvi kraštinės ir du kampai yra lygūs vienas kitam, o trečioji kraštinė (prie kurios ribojasi vienodi kampai) yra pagrindas.
Paveikslėlyje parodytas lygiašonis trikampis DEF, kurio kampai D ir F yra lygūs, o DF yra pagrindas.
Taisyklingas trikampis
Statusis trikampis taip pavadintas, nes vienas iš jo kampų yra stačiakampis, t.y. lygus 90°. Kiti du kampai sudaro 90°.
Labiausiai didelis vakarėlis tokio trikampio, esančio priešais 90 ° kampą, yra hipotenuzė, o kitos dvi jo kraštinės yra kojos. Šio tipo trikampiams taikoma Pitagoro teorema:
Kojų ilgių kvadratų suma lygi hipotenuzės ilgio kvadratui.
Paveikslėlyje parodytas stačiakampis trikampis BAC su hipotenuze AC ir kojomis AB ir BC.
Norėdami rasti stačiu kampu trikampio plotą, turite žinoti jo kojų skaitines reikšmes.
Pereikime prie formulių, kaip rasti nurodytos figūros plotą.
Pagrindinės zonos radimo formulės
Geometrijoje galima išskirti dvi formules, tinkamas rasti daugumos trikampių tipų plotus, būtent smailaus kampo, bukojo kampo, taisyklingųjų ir lygiašonių trikampių. Išanalizuokime kiekvieną iš jų.
Iš šono ir aukščio
Ši formulė yra universali norint rasti figūros plotą, kurį svarstome. Norėdami tai padaryti, pakanka žinoti šono ilgį ir į jį nubrėžto aukščio ilgį. Pati formulė (pusė pagrindo ir aukščio sandaugos) yra tokia:
kur A yra nurodyto trikampio kraštinė, o H yra trikampio aukštis.
Pavyzdžiui, norėdami rasti smailaus kampo trikampio ACB plotą, turite padauginti jo kraštinę AB iš aukščio CD ir gautą reikšmę padalyti iš dviejų.
Tačiau tokiu būdu ne visada lengva rasti trikampio plotą. Pavyzdžiui, norėdami naudoti šią formulę bukukampiam trikampiui, turite tęsti vieną iš jo kraštinių ir tik tada nubrėžti aukštį.
Praktikoje ši formulė naudojama dažniau nei kitos.
Dvi pusės ir kampas
Ši formulė, kaip ir ankstesnė, tinka daugumai trikampių ir savo prasme yra formulės, leidžiančios rasti plotą pagal trikampio kraštinę ir aukštį, pasekmė. Tai yra, nagrinėjamą formulę galima lengvai išvesti iš ankstesnės. Jo formuluotė atrodo taip:
S = ½*sinO*A*B,
kur A ir B yra trikampio kraštinės, o O yra kampas tarp kraštinių A ir B.
Prisiminkite, kad kampo sinusą galima pamatyti specialioje lentelėje, pavadintoje iškilaus sovietinio matematiko V. M. Bradžio vardu.
O dabar pereikime prie kitų formulių, kurios tinka tik išskirtinio tipo trikampiams.
Stačiojo trikampio plotas
Be universalios formulės, kuri apima poreikį nubrėžti aukštį trikampyje, iš jo kojų galima rasti trikampio, kuriame yra stačiu kampu, plotą.
Taigi, trikampio, kuriame yra stačiu kampu, plotas yra pusė jo kojų sandaugos arba:
kur a ir b yra kojos taisyklingas trikampis.
taisyklingas trikampis
Šis tipas geometrinės figūros skiriasi tuo, kad jos plotą galima rasti su nurodyta tik vienos iš jo kraštinių reikšme (nes taisyklingo trikampio visos kraštinės yra lygios). Taigi, įvykdę užduotį „rasti trikampio plotą, kai kraštinės yra lygios“, turite naudoti šią formulę:
S = A 2 *√3 / 4,
kur A yra pusė lygiakraštis trikampis.
Garnio formulė
Paskutinis trikampio ploto nustatymo variantas yra Herono formulė. Norint juo naudotis, reikia žinoti trijų figūros kraštinių ilgius. Herono formulė atrodo taip:
S = √p (p - a) (p - b) (p - c),
kur a, b ir c yra nurodyto trikampio kraštinės.
Kartais pateikiama užduotis: „Taisyklingo trikampio plotas yra rasti jo kraštinės ilgį“. IN Ši byla Norėdami rasti taisyklingo trikampio plotą, turite naudoti mums jau žinomą formulę ir iš jos išvesti kraštinės (arba jos kvadrato) vertę:
A 2 \u003d 4S / √3.
Egzamino problemos
Matematikos GIA užduotyse yra daug formulių. Be to, gana dažnai ant languoto popieriaus reikia rasti trikampio plotą.
Tokiu atveju patogiausia nubrėžti aukštį į vieną iš figūros kraštų, nustatyti jo ilgį ląstelėmis ir naudoti universalią formulę plotui rasti:
Taigi, išstudijavę straipsnyje pateiktas formules, neturėsite problemų ieškant bet kokio trikampio ploto.
Koordinačių metodas, kurį XVII amžiuje pasiūlė prancūzų matematikai R. Dekartas (1596-1650) ir P. Fermat (1601-1665), yra galingas įrankis, leidžiantis geometrines sąvokas išversti į algebrinę kalbą. Šis metodas pagrįstas koordinačių sistemos koncepcija. Mes apsvarstysime daugiakampio ploto apskaičiavimą pagal jo viršūnių koordinates stačiakampėje koordinačių sistemoje.
Trikampio plotas
1 teorema. Jei yra trikampio plotas
tada lygybė
bus vadinamas trikampio ploto determinantu.
Įrodymas. Tegul trikampio viršūnės yra pirmajame koordinačių ketvirtyje. Galimi du atvejai.
1 atvejis. Trikampio viršūnių išsidėstymo kryptis (arba, arba) sutampa su valandos pabaigos rodyklės judėjimo kryptimi (1.30 pav.).
Kadangi figūra yra trapecija.
Panašiai mes taip pat pastebime
Atlikę algebrines transformacijas
gauname tai:
Lygybėje (1.9) yra ploto determinantas, todėl prieš reiškinį yra minuso ženklas, kadangi.
Parodykime tai. Tikrai, čia
(stačiakampio su pagrindu ir aukščiu plotas didesnis už stačiakampių su pagrindais ir aukščiais plotų sumą, ; (1.30 pav.), iš kur
2 atvejis. 1 atveju nurodytos kryptys yra priešingos valandos pabaigos rodyklės judėjimo krypčiai (1.31 pav.)
kadangi figūra yra trapecija, ir
Kur. Tikrai, čia
Teorema įrodyta, kai trikampio viršūnės yra pirmajame koordinačių kvadrante.
Naudojant modulio sąvoką lygybės (1.9) ir (1.10) gali būti parašytos taip:
1 pastaba. Išvedėme formulę (1.8), atsižvelgdami į paprasčiausią viršūnių išdėstymą, parodytą 1.30 ir 1.31 paveiksluose; tačiau (1.8) formulė tinka bet kokiam viršūnių išdėstymui.
Apsvarstykite 1.32 pav. pavaizduotą atvejį.
Todėl atlikus paprastas geometrines transformacijas:
vėl gauname ką, kur
n kampo plotas
Daugiakampis gali būti išgaubtas arba neišgaubtas, viršūnių numeravimo tvarka laikoma neigiama, jei viršūnės numeruojamos pagal laikrodžio rodyklę. Daugiakampis, kuris neturi susikertančių kraštinių, bus vadinamas paprastu. Dėl paprasto n-Gon taip galioja
2 teorema. Jei yra pirminio dydžio plotas n-gon, kur, tada lygybė
bus vadinamas pirminio ploto determinantu n-gon.
Įrodymas. Galimi du atvejai.
1 atvejis. n-gon - išgaubtas. Įrodykime (1.11) formulę matematinės indukcijos metodu.
Nes tai jau įrodyta (1 teorema). Manome, kad jis galioja n-kvadratas; Įrodykime, kad jis galioja išgaubtai ( n+1)-gon.
Prie daugiakampio pridėkime dar vieną viršūnę (1.33 pav.).
Taigi formulė galioja ( n+1)-gon, vadinasi, tenkinamos matematinės indukcijos sąlygos, t.y. formulė (1.11) išgaubto atveju n-gon įrodyta.
2 atvejis. n-gon - neišgaubtas.
Bet kokioje neišgaubtoje n-gon, galima nubrėžti jos viduje esančią įstrižainę, taigi ir 2 atvejo įrodymas neišgaubtam n-gon yra panašus į išgaubto įrodymą n-gon.
2 pastaba. Išraiškas nėra lengva įsiminti. Todėl norint apskaičiuoti jo reikšmes, patogu į stulpelį įrašyti pirmos, antros, trečios, ..., koordinates, n ir vėl pirmosios viršūnės n-gon ir atlikite dauginimą pagal schemą:
Ženklai stulpelyje (1.12) turi būti išdėstyti taip, kaip nurodyta schemoje (1.13).
3 pastaba. Sudarydami stulpelį (1.12) trikampiui, galite pradėti nuo bet kurios viršūnės.
4 pastaba. Sudarant stulpelį (1.12) už n-gon () turite laikytis viršūnių koordinačių rašymo sekos n-gon (nuo kurios viršūnės pradėti aplinkkelį yra abejinga). Taigi ploto skaičiavimas n-gon turėtų prasidėti „grubaus“ brėžinio konstravimu.