Matematika yra tai, kad, kaiŽmonių kontroliuoja gamtą ir patys.
Sovietų matematikas, akademikas A.N. Kolmogorov
Geometrinis progresavimas.
Kartu su aritmetinio progresavimo užduotimis, problemos, susijusios su geometrinio progresavimo sąvoka, yra bendri matematikos įėjimo bandymuose. Siekiant sėkmingai išspręsti tokias užduotis, būtina žinoti geometrinės progresavimo savybes ir turėti gerų naudojimo įgūdžių.
Šis straipsnis skirtas pagrindinių geometrinės progresavimo savybių pristatymui. Čia pateikiami tipiškų užduočių sprendimų pavyzdžiai., Pasiskolinta iš matematikos įėjimo bandymų užduočių.
Anksčiau atkreipkite dėmesį į pagrindines geometrinės progresavimo savybes ir priminti svarbiausias formules ir patvirtinimą, su šia koncepcija.
Apibrėžimas. Skaitmeninė seka vadinama geometrine pažanga, jei kiekvienas iš jų pradedamas nuo antrojo lygio, padaugintas iš to paties numerio. Numeris vadinamas geometrinio progresavimo vardikliu.
Geometrinei progresijaiformulės galioja
, (1)
kur. Formulė (1) vadinama bendro geometrinio progresavimo nario formuluotu, o formulė (2) yra pagrindinė geometrinės progresavimo nuosavybė: kiekvienas progresavimo narys sutampa su vidutiniu jos kaimyninių narių geometriniu geometriniu ir. \\ T
Pastaba Kas tiksliai dėl šios savybės, nagrinėjamas progresavimas vadinamas "geometriniu".
Pirmiau minėtos formulės (1) ir (2) apibendrinami taip:
, (3)
Apskaičiuoti sumą Pirmas Geometrinės progresavimo nariai Taikoma formulė
Jei nurodote, tada
kur. Kadangi formulė (6) yra (5) formulės apibendrinimas.
Tuo atveju, kai ir geometrinis progresavimas yra neabejotinai mažėja. Apskaičiuoti sumąvisi be galo mažėjančio geometrinio progresavimo nariai yra naudojama formulė
. (7)
Pavyzdžiui , Su formulės (7) pagalba galite parodyti, ką
kur. Šie lygiai gaunami iš formulės (7), jei (pirmoji lygybė) ir (antroji lygybė).
Teorema. Jei tada
Įrodymai. Jei tada
Įrodyta teorema.
Pasitraukėme į pavyzdžių sprendžiant problemas temos "geometrinio progresavimo".
1 pavyzdys. Dano :, ir. Rasti .
Sprendimas. Jei taikote formulę (5), tada
Atsakymas:.
2 pavyzdys.Tebūnie. Rasti .
Sprendimas. Kadangi mes naudojame formules (5), (6) ir mes gauname lygčių sistemą
Jei antroji sistema (9) yra suskirstyta į pirmąjį, tada arba. Taigi I. I. . Apsvarstykite du atvejus.
1. Jei, tada nuo pirmosios sistemos (9) lygties.
2. Jei tada.
3 pavyzdys.Leiskite ir. Rasti .
Sprendimas. Nuo formulės (2) tai reiškia, kad arba. Nuo to laiko arba.
Pagal būklę. Tačiau. Nuo Tada čia turi lygčių sistemą
Jei antroji sistemos lygia yra suskirstyta į pirmąjį, tada arba.
Kadangi lygtis turi vienintelę tinkamą šaknį. Šiuo atveju nuo pirmosios sistemos lygties srautų.
Atsižvelgiant į formulę (7), mes gauname.
Atsakymas:.
4 pavyzdys.Danar: ir. Rasti .
Sprendimas. Nuo tada.
Nuo tada arba
Pagal formulę (2). Šiuo atžvilgiu iš lygybės (10) mes gauname arba.
Tačiau pagal sąlygą.
5 pavyzdys. Tai žinoma. Rasti .
Sprendimas. Pasak teoremo mes turime du lygius
Nuo to laiko arba. Nuo tada.
Atsakymas:.
6 pavyzdys. Danar: ir. Rasti .
Sprendimas. Atsižvelgiant į (5) formulę, mes gauname
Nuo tada. Nuo to laiko ir tada.
7 pavyzdys. Tebūnie. Rasti .
Sprendimas. Pagal formulę (1) galite įrašyti
Todėl mes turime arba. Tai žinoma.
Atsakymas:.
8 pavyzdys. Rasti begalinio mažėjimo geometrinio progresavimo vardiklį, jei
ir.
Sprendimas. Nuo (7) formulės ir. \\ T . Iš čia ir nuo užduoties, gauname lygčių sistemą
Jei pirmoji sistemos lygtis yra sukurti kvadratą, ir tada gauta lygtis suskirstyta į antrąją lygtį, Aš gaunu
Or.
Atsakymas:.
9 pavyzdys. Rasti visas vertes, kuriose seka yra geometrinė pažanga.
Sprendimas. Leiskite ir. Pagal formulę (2), kuri nustato pagrindinį geometrinio progresavimo turtą, galima įrašyti arba.
Iš čia mes gauname kvadratinę lygtį, Šaknys yra ir.
Atlikite čekį: jei, tada; Jei tada ir.
Pirmuoju atveju mes turime Ir ir antrajame - ir.
Atsakymas:.
10 pavyzdys.Išspręsti lygtį
, (11)
kur ir.
Sprendimas. Kairė lygties dalis (11) yra begalinės mažėjimo geometrinės progresavimo suma, kurioje pateikiama: ir.
Nuo (7) formulės, ką . Šiuo atžvilgiu (11) lygtis arba. \\ T . Tinkama root. kvadratinė lygtis yra
Atsakymas:.
11 pavyzdys.P teigiamų numerių sutartis Formų aritmetinis progresavimas, bet - geometrinis progresavimas, ką jis turi daryti su. Rasti .
Sprendimas.Kaip aritmetinė sekaT. (Pagrindinė aritmetinio progresavimo nuosavybė). Tiek, kiek. \\ T, tada arba. Tai reiškia, kad geometrinis progresavimas turi formą. Pagal formulę (2), tada užsirašykite.
Taip kaip yra . Šiuo atveju išraiška žiūri arba. Pagal sąlygą, Todėl iš lygties Mes gauname tik nagrinėjamos problemos sprendimą. .
Atsakymas:.
12 pavyzdys.Apskaičiuokite sumą
. (12)
Sprendimas. Padauginkite 5 lygybės dalis (12) ir gauti
Jei nutraukta iš gautos išraiškos (12)T.
or.
Apskaičiuojant, mes pakeiskite formulę (7) vertybių, ir mes gauname. Nuo tada.
Atsakymas:.
Čia pateikiami sprendimų sprendimo pavyzdžiai bus naudingi pareiškėjams rengdami įvadinius bandymus. Dėl gilesnio problemų sprendimo metodų tyrimo, susijęs su geometrine pažanga, Gali būti naudojamas pamokos. Iš rekomenduojamos literatūros sąrašo.
1. Matematikos problemų rinkimas į gaunamus dirvožemyje / ED. M.I. Schanavi. - m.: Pasaulis ir švietimas, 2013 - 608 p.
2. SUPRUN V.P. Matematika vidurinių mokyklų studentams: papildomi mokyklos programos skyriai. - m.: Lenand / Urss, 2014 - 216 p.
3. Medicinos m.m. Visas pradinės matematikos kursas užduotys ir pratybos. 2 knyga: skaitmeninės sekos ir progresavimas. - m.: Oditus2015 m. - 208 p.
Turėti klausimų?
Norėdami gauti mokytojo pagalbą - užsiregistruoti.
svetainė, visiškai arba dalinis kopijavimas medžiagos nuoroda į pradinį šaltinį reikalingas.
Geometrinis progresavimas Ne mažiau svarbu matematikai, palyginti su aritmetika. Geometrinė pažanga vadinama tokia numerių seka B1, B2, ..., B [N] kiekvienas kitas terminas yra gaunamas dauginant ankstesnį skaičių. Tai yra numeris, kuris taip pat apibūdina augimo arba progresavimo sumažėjimą, yra vadinamas denominatoriaus geometrinis progresavimas Ir žymi
Už visišką geometrinio progresavimo užduotį, be vardiklio, būtina žinoti arba apibrėžti savo pirmąjį kadenciją. Dėl teigiama vertė Denominatoriaus progresavimas yra monotoninė seka, ir jei ši numerių seka yra monotoniškai mažėja ir monotoniškai didėja. Byla, kai vardiklis yra lygus vienai praktikai, nes mes turime vienodų skaičių seką, ir jų apibendrinimas nesukelia praktinių interesų.
Geometrinio progresavimo generalinis narys Apskaičiuoti pagal formulę. \\ T
N pirmasis geometrinės progresavimo narių skaičius Nustatyti formulę. \\ T
Apsvarstykite klasikinių geometrinės progresavimo užduočių sprendimus. Pradėkime suprasti paprasčiausią.
Pavyzdys 1. Pirmasis geometrinės progresavimo narys yra 27, o jo vardiklis yra 1/3. Raskite šešis pirmuosius geometrinius progresavimo narius.
Sprendimas: parašykite problemos būklę
Skaičiavimams, mes naudojame n-osios geometrinės progresavimo narės formulę
Remiantis juo, mes randame nežinomus progresavimo narius
Kaip galite įsitikinti, kad geometrinio progresavimo narių skaičiavimai yra paprasti. Pati progresija atrodys taip
2 pavyzdys. Yra trys pirmoji geometrinės progresavimo narė: 6; -12; 24. Raskite vardiklį ir septintą savo penį.
Sprendimas: apskaičiuoti geemitrinio progresavimo vardiklį pagal jo apibrėžimą
Gavo alternatyvų geometrinį danometrinio dezinteratūros progresavimą --2. Septintasis narys apskaičiuoja formulę
Ši problema išspręsta.
3 pavyzdys. Geometrinis progresavimas nustato du narius 
. Raskite dešimtą progresavimo narį.
Sprendimas:
Mes užrašome nurodytas vertes per formules
Pagal taisykles reikės rasti vardiklį ir ieškokite norimos vertės, bet mes turime dešimtojo nario
Tą pačią formulę galima gauti remiantis nekilnojamojo manipuliacijų su įvesties duomenimis. Mes padaliname šeštą eilutės narį į kitą, kaip rezultatas, kurį gauname
Jei vertė svyravo šeštojoje narėje, mes gauname dešimtąją
Taigi, tokių problemų su paprastų transformacijų pagalba greitas būdas Galite rasti tinkamą sprendimą.
8 pavyzdys. Geometrinis progresavimas pateikiamas pasikartojančiomis formulėmis
Raskite vardiklio geometrinę progresavimą ir pirmųjų šešių narių sumą.
Sprendimas:
Mes parašytume pateiktus duomenis lygčių sistemos forma
Išreikšti vardiklį, kuris pateikia antrąją lygtį pirmam
Raskite pirmąją pirmosios lygties progresavimo laikotarpį
Apskaičiuojame šiuos penkis narius, kad surastume geometrinės progresavimo sumą
Instrukcija
10, 30, 90, 270...
Reikia rasti geometrinės progresavimo vardiklį.
Sprendimas:
1 variantas. Paimkite savavališką progresavimo terminą (pvz., 90) ir padalinti jį į ankstesnį (30): 90/30 \u003d 3.
Jei yra žinoma kelių geometrinio progresavimo narių suma arba visų mažėjančios geometrinio progresavimo narių suma, tada surasti progresavimo vardiklį, naudokite atitinkamas formules:
Sn \u003d b1 * (1-q ^ n) / (1-q), kur SN yra pirmųjų geometrinio progresavimo narių suma ir
S \u003d B1 / (1-q), kur yra be galo mažėjančios geometrinės progresavimo sumos (visų progresavimo narių suma su mažesnio vieneto vardikliu).
Pavyzdys.
Pirmasis dygsnio geometrinės progresavimo laikotarpis yra lygus vienai, o visų jos narių suma yra du.
Reikia nustatyti šio progresavimo vardiklį.
Sprendimas:
Papildykite duomenis iš užduoties formulėje. Paaiškėja:
2 \u003d 1 / (1-q), iš kur Q \u003d 1/2.
Progresavimas yra numerių seka. Geometrine progresija, kiekvienas vėlesnis terminas gaunamas dauginant ankstesnį skaičių Q, vadinamą denominatoriaus progresavimo.
Instrukcija
Jei yra žinoma, kad du kaimyniniai geometriniai B (n + 1) ir b (n) yra žinoma, kad gaunamas vardiklis, būtina padalinti numerį su dideliu: q \u003d b (n + 1) / b (n). Tai išplaukia nuo progresavimo ir jo vardiklio nustatymo. Svarbi sąlyga - tai pirmasis progresavimo nario ir vardiklio nulio nelygybė, kitaip ji laikoma neaiški.
Taigi nustatomi šie santykiai tarp progresavimo narių: b2 \u003d b1 q, b3 \u003d b2 q, ..., b (n) \u003d b (n - 1) q. Pagal formulę B (N) \u003d B1 q ^ (N - 1), bet koks geometrinio progresavimo narys gali būti apskaičiuojamas, kuriame žinomas vardiklis Q ir B1 narys. Be to, kiekvienas modulio progresavimas yra lygus jo kaimyninių narių vidurkiams: | B (n) | \u003d √, taigi ir progresavimas ir gavo savo.
Geometrinės progresavimo analogas yra paprasčiausia orientacinė funkcija y \u003d a ^ x, kur x yra laipsnio rodikliu, A yra numeris. Šiuo atveju progresavimo denominoras sutampa su pirmuoju nariu ir lygus skaičiui a. Pagal Y funkciją galite suprasti n-narys Progresavimas, jei X argumentas priimamas už natūralų numerį N (skaitiklis).
Yra pirmojo N narys geometrinio progresavimo suma: s (n) \u003d B1 (1-q ^ n) / (1-q). Ši formulė galioja q ≠ 1. Jei q \u003d 1, tada pirmųjų N narių suma apskaičiuojama pagal formulę S (N) \u003d N B1. Beje, progresavimas bus vadinamas didinant didesnį vienetą ir teigiamą B1. Su progresavimo denominatoriumi, modulis neviršija įrenginio, bus nurodyta progresija.
Ypatingas geometrinio progresavimo atvejis yra be galo mažėja geometrinis progresavimas (b.u.g.p.). Faktas yra tas, kad mažėjančio geometrinio progresavimo nariai per tam tikrą laiką sumažės, tačiau jie niekada nepasiekė nulio. Nepaisant to, galite rasti visų tokios progresavimo narių dydį. Jis nustatomas pagal formulę s \u003d b1 / (1-q). Visas kiekis nariai N begaliniai.
Norėdami aiškiai įsivaizduoti, kaip pridėti begalinį skaičių numerių ir nesulaukite begalybės, kepkite tortą. Sumažinti pusę. Tada supjaustykite 1/2 nuo pusės ir pan. Gautos gabalai yra tik neabejotinai mažėjančio geometrinio progresavimo nariai su vardikliu 1/2. Jei sulankstate visus šiuos gabalus, gausite originalų tortą.
Geometrijos užduotys yra ypatinga pratimai, kuriems reikia erdvinio mąstymo. Jei negalite išspręsti geometrinio užduotis, Pabandykite sekti toliau pateiktas taisykles.
Instrukcija
Labai atidžiai perskaitykite užduoties sąlygą, jei kažkas nepamiršta arba nesupratote, vėl perskaitykite.
Pabandykite nustatyti, kokio tipo geometrinių užduočių, pavyzdžiui, pavyzdžiui: skaičiavimas, kai jums reikia žinoti bet kokią vertę, užduotis, reikalaujant logiška grandinės argumentais, užduočių statybos su apyvartos ir valdovo pagalba. Daugiau užduočių mišrios rūšies. Kai sužinosite užduoties tipą, pabandykite ginčytis logiškai.
Taikykite reikiamą šios užduoties teoremą, jei kyla abejonių arba nėra jokių galimybių visai, tada pabandykite prisiminti teoriją, kurią praėjo pagal atitinkamą temą.
Papasakokite problemai ir projektui. Pabandykite taikyti gerai žinomus būdus, kaip patikrinti savo sprendimo lojalumą.
Atsargiai atidėti užduoties sprendimą atsargiai nešiojamame kompiuteryje, be blotų ir kirtimo, ir svarbiausia - galima išspręsti pirmuosius geometrines užduotis ir laiką. Tačiau, kai tik įvesite šį procesą - pradėkite spustelėti programinės įrangos, pavyzdžiui, riešutų užduotis, gauti malonumą iš jo!
Geometrinis progresavimas yra tokia numerių seka B1, B2, B3, ..., B (N - 1), b (n), kuri b2 \u003d b1 * q, b3 \u003d b2 * q, ..., b (n ) \u003d B (n - 1) * q, b1 ≠ 0, q ≠ 0. Kitaip tariant, kiekvienas progresavimo narys gaunamas iš ankstesnio jo dauginimo iki kai kurių nulinio vardiklio apie Q. Q.
Instrukcija
Progresavimo užduotys dažniausiai išspręstos rengiant ir vėlesnę sistemą, palyginti su pirmuoju B1 progresavimo nariu ir Q. "Q. Nominatoriaus vardikliu Norėdami kompiliuoti lygtis, naudinga prisiminti kai kurias formules.
Kaip išreikšti N-ą progresavimo narį per pirmąjį progresavimo laikotarpį ir progresavimo vardiklį: b (n) \u003d b1 * q ^ (n-1).
Apsvarstykite atskirą bylą Q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Pamoka ir pristatymas temoje: "Skaitmeninės sekos. Geometrinis progresavimas"
Papildomos medžiagos
Gerbiami vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visos medžiagos tikrina antivirusinę programą.
Mokymo vadovai ir simuliatoriai internetinėje parduotuvėje "Integral" 9 laipsniui
Laipsniai ir šaknys veikia ir grafika
Vaikinai, šiandien pristatysime kitą progresavimo tipą.
Šiandienos pamokos tema yra geometrinis progresavimas.
Geometrinis progresavimas
Apibrėžimas. Skaitmeninė seka, kurioje kiekvienas narys nuo antrojo yra lygus ankstesnio ir kai fiksuoto skaičiaus produkto yra vadinamas geometrine pažanga.Leiskite mums nustatyti mūsų pasikartojančio seką: $ b_ (1) \u003d b $, $ b_ (n) \u003d b_ (n - 1) * Q $
kur b ir q yra tam tikri numeriai. Numeris Q vadinamas progresavimo denominatoriumi.
Pavyzdys. 1,2,4,8,16 ... geometrinis progresavimas, kuriame pirmasis terminas yra lygus vienam, ir $ q \u003d $ 2.
Pavyzdys. 8,88,88 ... geometrinis progresavimas, kuris yra lygus aštuoniems,
$ Q \u003d 1 $.
Pavyzdys. 3, -3,3, -3,3 ... geometrinis progresavimas, kuris pirmasis narys yra lygus trims,
$ Q \u003d -1 $.
Geometrinis progresavimas turi monotonijos savybes.
Jei $ b_ (1)\u003e 0 $, $ q\u003e $ 1,
tada seka didėja.
Jei $ b_ (1)\u003e 0 $, $ 0 Nagrinėjama seka yra pažymėta forma: $ B_ (1), B_ (2), B_ (3), ..., B_ (N), ... $.
Taip pat kaip aritmetinėje progresijoje, jei geometriniame progresijoje žinoma, tada progresavimas vadinamas galutine geometrine progresija.
$ b_ (1), b_ (2), b_ (3), ..., b_ (n - 2), b_ (n - 1), b_ (n) $.
Pastaba Jei seka yra geometrinis progresavimas, narių kvadratų seka taip pat yra geometrinis progresavimas. Antroje sekoje pirmasis terminas yra $ B_ (1) ^ 2 $, o vardiklis yra $ q ^ 2 $.
N-Bous nario geometrinės progresavimo formulė
Geometrinis progresavimas gali būti nustatytas analitine forma. Pažiūrėkime, kaip tai padaryti:$ b_ (1) \u003d b_ (1) $.
$ b_ (2) \u003d b_ (1) * Q $.
$ b_ (3) \u003d b_ (2) * q \u003d b_ (1) * q * q \u003d b_ (1) * q ^ 2 $.
$ b_ (4) \u003d b_ (3) * q \u003d b_ (1) * Q ^ $ 3.
$ b_ (5) \u003d b_ (4) * q \u003d b_ (1) * q ^ 4 $.
Mes lengvai pastebėjome modelį: $ b_ (n) \u003d b_ (1) * q ^ (n-1) $.
Mūsų formulė vadinama "N-CO" geometrinės progresavimo nario formulė ".
Grįžkime prie mūsų pavyzdžių.
Pavyzdys. 1,2,4,8,16 ... geometrinis progresavimas, kuriame pirmasis terminas yra lygus vienai,
$ Q \u003d $ 2.
$ b_ (n) \u003d 1 * 2 ^ (n) \u003d 2 ^ (n - 1) $.
Pavyzdys. 16,84,2,11 / 2 ... geometrinis progresavimas, kuriame pirmasis terminas yra šešiolika, o $ q \u003d frac (1) (2) $.
$ b_ (n) \u003d 16 * (frac (1) (2)) ^ (n - 1) $.
Pavyzdys. 8,88,88 ... geometrinė pažanga, kurioje pirmasis terminas yra aštuoni, o $ Q \u003d 1 $.
$ b_ (n) \u003d 8 * 1 ^ (n - 1) \u003d $ 8.
Pavyzdys. 3, -3,3, -3,3 ... geometrinė pažanga, kurioje pirmasis terminas yra lygus trims, o $ q \u003d -1 $.
$ b_ (n) \u003d 3 * (- 1) ^ (n - 1) $.
Pavyzdys. Geometrinis progresavimas $ B_ (1), B_ (2), ..., B_ (N), ... $.
a) žinoma, kad $ b_ (1) \u003d 6, Q \u003d $ 3. Rasti $ B_ (5) $.
b) žinoma, kad $ b_ (1) \u003d 6, q \u003d 2, b_ (n) \u003d $ 768. Rasti N.
c) žinoma, kad $ q \u003d -2, b_ (6) \u003d $ 96. Rasti $ b_ (1) $.
d) žinoma, kad $ b_ (1) \u003d - 2, b_ (12) \u003d $ 4096. Rasti Q.
Sprendimas.
a) $ b_ (5) \u003d b_ (1) * q ^ 4 \u003d 6 * 3 ^ 4 \u003d $ 486.
b) $ b_n \u003d b_1 * q ^ (n - 1) \u003d 6 * 2 ^ (n - 1) \u003d $ 768.
$ 2 ^ (n - 1) \u003d frac (768) (6) \u003d 128 $, nuo $ 2 ^ 7 \u003d 128 \u003d\u003e N - 1 \u003d 7; N \u003d $ 8.
c) $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 \u003d b_ (1) * (- 2) ^ 5 \u003d -32 * b_ (1) \u003d 96 \u003d\u003e b_ (1) \u003d - $ 3.
d) $ b_ (12) \u003d b_ (1) * q ^ (11) \u003d - 2 * q ^ (11) \u003d 4096 \u003d\u003e q ^ (11) \u003d - 2048 \u003d\u003e q \u003d -2 $.
Pavyzdys. Skirtumas tarp septintojo ir penktojo geometrinio progresavimo narių yra 192, penktojo ir šeštojo progresavimo dydis yra 192. Rasti dešimtą šios progresavimo narį.
Sprendimas.
Mes žinome, kad: $ b_ (7) -B_ (5) \u003d 192 $ ir $ b_ (5) + b_ (6) \u003d 192 $.
Mes taip pat žinome: $ b_ (5) \u003d b_ (1) * Q ^ 4 $; $ b_ (6) \u003d b_ (1) * q ^ 5 $; $ b_ (7) \u003d b_ (1) * q ^ 6 $.
Tada:
$ B_ (1) * Q ^ 6-b_ (1) * Q ^ 4 \u003d 192 $.
$ B_ (1) * q ^ 4 + b_ (1) * Q ^ 5 \u003d 192 $.
Gavo lygčių sistemą:
$ pradžia (atvejai) b_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d 192 b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) \u003d 192 pabaiga (atvejų) $.
Pasirengimas, mūsų lygtys bus gautos:
$ B_ (1) * q ^ 4 (q ^ 2-1) \u003d b_ (1) * q ^ 4 (1 + q) $.
$ Q ^ 2-1 \u003d Q + 1 $.
$ Q ^ 2-Q-2 \u003d 0 $.
Gauti du sprendimai Q: $ Q_ (1) \u003d 2, Q_ (2) \u003d - 1 $.
Vėliau pakeisime antrąją lygtį:
$ B_ (1) * 2 ^ 4 * 3 \u003d 192 \u003d\u003e b_ (1) \u003d $ 4.
$ b_ (1) * (- 1) ^ 4 * 0 \u003d 192 \u003d\u003e $ jokių sprendimų.
Gauta kaip: $ b_ (1) \u003d 4, Q \u003d $ 2.
Mes randame dešimtą narį: $ B_ (10) \u003d B_ (1) * Q ^ 9 \u003d 4 * 2 ^ 9 \u003d $ 2048.
Baigtinių geometrinės progresavimo suma
Leiskite mums turėti ribotą geometrinę progresavimą. Leiskite, taip pat aritmetiniam progresavimui, mes manome, kad jos narių dydį.Leiskite galutinei geometrinei progresijai: $ b_ (1), b_ (2), ..., b_ (n - 1), b_ (n) $.
Pristatome savo narių sumos paskyrimą: $ S_ (N) \u003d B_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n) $.
Tuo atveju, kai $ q \u003d 1 $. Visi geometrinio progresavimo nariai yra lygūs pirmajam nariui, tai yra akivaizdu, kad $ s_ (n) \u003d n * b_ (1) $.
Apsvarstykite dabar $ q ≠ $ 1 atvejį.
Padauginkite aukščiau nurodytą sumą už Q.
$ S_ (N) * Q \u003d (b_ (1) + b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) * Q \u003d b_ (1) * q + b_ (2) * q + ⋯ + B_ (N - 1) * q + b_ (n) * q \u003d b_ (2) + b_ (3) + ⋯ + b_ (n) + b_ (n) * Q $.
Pastaba:
$ S_ (n) \u003d b_ (1) + (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) $.
$ S_ (N) * Q \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * Q $.
$ S_ (N) * Q-S_ (N) \u003d (b_ (2) + ⋯ + b_ (N - 1) + b_ (n)) + b_ (n) * Q-b_ (1) - (b_ (2) ) + ⋯ + b_ (n - 1) + b_ (n)) \u003d b_ (n) * Q-b_ (1) $.
$ S_ (N) (q-1) \u003d b_ (n) * Q-b_ (1) $.
$ S_ (N) \u003d \\ t frac (b_ (n) * q-b_ (1)) (q-1) \u003d \\ t frac (b_ (1) * q ^ (n - 1) * Q-b_ (1)) (Q-1) \u003d frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.
$ S_ (n) \u003d frac (b_ (1) (q ^ (n) -1)) (Q-1) $.
Mes gavome baigtinių geometrinės progresavimo sumos formulę.
Pavyzdys.
Raskite pirmųjų septynių geometrinės progresavimo narių sumą, kurioje pirmasis terminas yra 4, o vardiklis 3.
Sprendimas.
$ S_ (7) \u003d frac (4 * (3 ^ (7) -1)) (3-1) \u003d 2 * (3 ^ (7) -1) \u003d $ 4372.
Pavyzdys.
Raskite penktą geometrinio progresavimo narį, kuris yra žinomas: $ B_ (1) \u003d - $ 3; $ b_ (n) \u003d - 3072 $; $ S_ (N) \u003d - $ 4095.
Sprendimas.
$ b_ (n) \u003d (- 3) * q ^ (n - 1) \u003d - 3072 USD.
$ Q ^ (n - 1) \u003d 1024 $.
$ Q ^ (n) \u003d 1024Q $.
$ S_ (n) \u003d frac (-3 * (q ^ (n) -1)) (q-1) \u003d - $ 4095.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (q ^ (n) -1) $.
$ -4095 (Q-1) \u003d - 3 * (1024Q-1) $.
1365Q-1365 \u003d 1024Q-1 $.
$ 341Q \u003d $ 1364.
$ Q \u003d $ 4.
$ b_5 \u003d b_1 * q ^ 4 \u003d -3 * 4 ^ 4 \u003d -3 * 256 \u003d -768 $.
Būdinga geometrinio progresavimo nuosavybė
Vaikinai, atsižvelgiant į geometrinę progresavimą. Pažvelkime į tris iš eilės narys: $ B_ (N - 1), b_ (n), b_ (n + 1) $.Mes tai žinome:
$ Frac (b_ (n)) (q) \u003d b_ (n-1) $.
$ b_ (n) * q \u003d b_ (n + 1) $.
Tada:
$ Frac (b_ (n)) (q) * b_ (n) * q \u003d b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
$ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
Jei progresavimas yra galutinis, tai yra ši lygybė atliekama visiems nariams, išskyrus pirmąjį ir paskutinis.
Jei jis nėra žinomas iš anksto, kokios sekos, tačiau žinoma, kad: $ b_ (n) ^ (2) \u003d b_ (n - 1) * b_ (n + 1) $.
Tada galite saugiai pasakyti, kad tai yra geometrinis progresavimas.
Skaitmeninė seka yra geometrinė pažanga, tik tada, kai kiekvieno nario kvadratas yra lygus dviejų gretimų progresavimo su juo produktui. Nepamirškite, kad galutiniam progresavimui ši sąlyga nėra vykdoma pirmam ir paskutiniam nariui.
Pažvelkime į šią tapatybę: $ sqrt (b_ (n) ^ (2)) \u003d \\ t \\ t0 (b_ (n - 1) * b_ (n + 1)) $.
$ | b_ (n) | \u003d qrt (b_ (n - 1) * b_ (n + 1)) $.
$ sqrt (a * b) $ vadinamas vidurkiu geometriniai numeriai a ir b.
Bet kokio geometrinio progresavimo nario modulis yra lygus vidutiniams geometriniams du nariams šalia jo.
Pavyzdys.
Rasti tokį x, tai būtų $ x + 2; 2x + 2; 3x + 3 $ buvo trys iš eilės geometrinės progresavimo narys.
Sprendimas.
Mes naudojame būdingą turtą:
$ (2x + 2) ^ 2 \u003d (x + 2) (3x + 3) $.
$ 4x ^ 2 + 8x + 4 \u003d 3x ^ 2 + 3x + 6x + $ 6.
$ x ^ 2-x-2 \u003d 0 $.
$ x_ (1) \u003d 2 $ ir $ x_ (2) \u003d - 1 $.
Nuosekliai pakeisti originalioje išraiškoje, mūsų sprendimai:
$ X \u003d $ 2, seka buvo gauta: 4; 6; 9 - geometrinis progresavimas, kuriame $ Q \u003d $ 1,5 $.
Už $ x \u003d -1 $, gauta seka: 1; 0; 0.
Atsakymas: $ x \u003d 2. $
Užduotys savarankiškai sprendimus
1. Raskite aštuntą pirmąjį geometrinio laipsnio narį - -8; -8; -2 ....2. Raskite dešimtąją 11,22,44 geometrinio progresavimo narį.
3. Yra žinoma, kad $ b_ (1) \u003d 5, Q \u003d $ 3. Rasti $ B_ (7) $.
4. Žinoma, kad $ b_ (1) \u003d 8, q \u003d -2, b_ (n) \u003d 512 $. Rasti N.
5. Raskite pirmųjų 11 geometrinės progresavimo narių 3; 12; 48 ....
6. Rasti tokį x, kad $ 3x + 4; 2x + 4; X + 5 $ yra trys iš eilės geometrinės progresavimo narys.