"Tai yra pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje mes analizuosime kas vadinama kvadratine lygtimi Ir kaip jį išspręsti.

Kas vadinama kvadratine lygtimi

SVARBU!

Lygybės laipsnis lemia didžiausiu mastu, kuriame yra nežinomas.

Jei maksimalus laipsnis, kuriame nežinoma yra "2", tai reiškia, kad esate kvadratinė lygtis.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -X 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

SVARBU! Bendras vaizdas į kvadratinę lygtį atrodo taip:

X 2 + b x + c \u003d 0

"A", "B" ir "C" - nurodyti numeriai.

• "A" yra pirmasis ar vyresnysis koeficientas;
• "B" - antrasis koeficientas;
• "C" yra laisvas narys.

Norėdami rasti "A", "B" ir "C", turite palyginti savo lygtį su bendru požiūriu į kvadratinę lygtį "AX 2 + BX + C \u003d 0".

Rūpinkime nustatyti koeficientus "A", "B" ir "C" kvadratines lygtis.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -X 2 + x +

Lygtis. \\ T	Faktoriai
a \u003d 5. b \u003d -14. c \u003d 17.
a \u003d -7. b \u003d -13. c \u003d 8.

1

3

= 0

• a \u003d -1.
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

x 2 + 0,25x \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0,25.
• c \u003d 0.

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

Kaip išspręsti kvadratinių lygtis

Skirtingai nuo linijinių lygčių sprendžiant kvadratinių lygčių, ypatingą Šaknų paieškos formulė.

Prisiminti!

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, kurią reikia:

• sukurkite kvadratinę lygtį į bendro tipo "AX 2 + BX + C \u003d 0". Tai yra tik "0" turėtų likti dešinėje dalyje;
• naudokite šaknų formulę:

Analizuosime pavyzdį, kaip taikyti formulę ieškant aikštės lygties šaknų. Leiskite kvadratinei lygtimi.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

"X 2 - 3x - 4 \u003d 0" lygtis jau skiriama visai "AX 2 + BX + C \u003d 0" išvaizdai "ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami jį išspręsti, turime pakankamai kreiptis kvadratinės lygties šaknų paieškos formulė.

Mes apibrėžiame koeficientus "A", "B" ir "C" už šią lygtį.

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

Su juo yra išspręsta bet kokia kvadratinė lygtis.

Formulėje "x 1; 2 \u003d" dažnai pakeičia vadovaujamą išraišką
"B 2 - 4AC" ant raidės "D" ir yra vadinamas diskriminavimu. Diskriminacijos koncepcija išsamiau nagrinėjama pamokoje "Kas yra diskriminant".

Apsvarstykite dar vieną kvadratinės lygties pavyzdį.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

Šioje formoje nustatyti koeficientai "A", "B" ir "C" yra gana sudėtinga. Pirmiausia suteikime lygtį su bendra tipo "AX 2 + BX + C \u003d 0".

X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Dabar galite naudoti šaknų formulę.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.

6

2

x \u003d 3.
Atsakymas: x \u003d 3

Yra atvejų, kai kvadratinių lygčių nėra. Ši situacija atsiranda, kai yra neigiamas skaičius po šaknimis.

Į Šiuolaikinė visuomenė Galimybė atlikti veiksmus su lygtimis, kuriuose yra kintamasis į aikštę, gali būti naudinga daugelyje veiklos sričių ir yra plačiai naudojamas praktikoje mokslo ir technikos raidoje. Įrodymai gali būti tarnauti jūrų ir upių laivų, orlaivių ir raketų dizainas. Naudojant tokius skaičiavimus, įvairių įstaigų judėjimo trajektorijos, įskaitant erdvės objektus. Pavyzdžiai su kvadratinių lygčių sprendimu naudojami ne tik ekonominiu prognozavimu, projektuojant ir statydami pastatus, bet ir įprastomis kasdienėmis aplinkybėmis. Jie gali būti reikalingi turistinių kampanijų, sporto, prekybos parduotuvėse ir kitose labai bendrose situacijose.

Mes nutraukiame daugiklio komponentų išraišką

Lygybės laipsnis lemia didžiausia kintamojo laipsnio vertė, kurioje yra ši išraiška. Jei tai yra 2, tokia lygtis yra tiesiog vadinama kvadratu.

Jei formulės kalba yra išreiškiama, tada nurodytos išraiškos, nesvarbu, kaip jie atrodo, visada gali būti sukeltos formos, kai kairioji dalis išraiškos sudaro trys terminai. Tarp jų: \u200b\u200b2 kirvis (tai yra, kintamasis, pastatytas į kvadratą su koeficientu), BX (nežinoma be kvadrato su koeficientu) ir C (laisvas komponentas, tai yra įprastas numeris). Visa tai dešinėje pusėje yra lygi 0. Tuo atveju, kai nėra vieno iš jo komponentų, išskyrus AX 2, tai vadinama neišsamia kvadratinių lygčių. Pavyzdžiai, sprendžiant tokias užduotis, iš kintamųjų, kuriuose jis yra lengva rasti, vertė turėtų būti laikoma pirmiausia.

Jei išraiška rodoma formoje atrodo taip, kad du, tiksliau, 2 ir BX AX, išraiška, išraiška dešinėje pusėje, yra lengviausia rasti kintamąjį skliausteliams. Dabar mūsų lygtis atrodys taip: X (AX + B). Be to, jis tampa akivaizdu, kad arba x \u003d 0, arba užduotis yra sumažinta iki kintamo iš šios išraiškos: AX + B \u003d 0. Nurodytas diktuotas vienas iš dauginimo savybių. Taisyklė sako, kad dviejų veiksnių produktas suteikia 0 rezultatas tik tuo atveju, jei vienas iš jų yra nulis.

Pavyzdys

x \u003d 0 arba 8x - 3 \u003d 0

Dėl to gauname dvi lygties šaknis: 0 ir 0,375.

Šios rūšies lygtys gali apibūdinti kūno judėjimą pagal gravitacijos įtaką, kuris pradėjo judėti nuo tam tikro taško, priimto koordinatės pradžioje. Čia matematinis įrašymas kita forma: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Pakeičiant būtinas vertes, lygi dešinę pusę 0 ir rasti galimus nežinomus, galite sužinoti laiką praeiti nuo kūno kilimo momento iki jo rudens, taip pat daug kitų vertybių. Bet vėliau kalbėsime apie tai.

Išraiškos skaidymas apie daugiklius

Pirmiau aprašyta taisyklė leidžia išspręsti nurodytus uždavinius ir sudėtingesniais atvejais. Apsvarstykite pavyzdžių su šio tipo kvadratinių lygčių sprendimu.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Šis kvadratinis trivietis yra baigtas. Norėdami pradėti, mes paverčiame išraišką ir susilieja su dauginikliais. Jie gaunami du: (x-8) ir (x-25) \u003d 0. Dėl to mes turime dvi šaknis 8 ir 25.

Pavyzdžiai, sprendžiant kvadratinių lygtis 9 laipsnio leidžia šį metodą rasti kintamąjį išraiškose ne tik antra, bet ir trečiųjų ir ketvirtųjų užsakymų.

Pavyzdžiui: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. su dešinės dalies daugiklio dalimi su kintama, jie gaunami trys, tai yra, (x + 1), (x-3) ir ( x + 3).

Dėl to tampa akivaizdu, kad ši lygtis turi tris šaknis: -3; - 3.

Ekstrakto kvadratinių šaknų

Kitas nebaigtos antrosios eilės lygties atvejis yra išraiška, pateikiamų tokiu būdu, kad dešinė pusė būtų pastatyta iš AX 2 ir C komponentų. Čia, dėl kintamo vertės, laisvas narys perkeliamas į dešinę pusę, o tada kvadratinė šaknis išgaunama iš abiejų lygybės dalių. Pažymėtina, kad šiuo atveju lygties šaknys paprastai du. Išimtis gali būti lygi tik lygybei, paprastai ne su terminu, kai kintamasis yra nulis, taip pat išraiškų galimybės, kai dešinėje pusėje yra neigiamas. Pastaruoju atveju sprendimai neegzistuoja, nes pirmiau minėtas veiksmas negali būti pagamintas su šaknimis. Turi būti atsižvelgta į tokio tipo kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžius.

Šiuo atveju lygties šaknys bus -4 ir 4.

Žemės sklypo apskaičiavimas

Tokių skaičiavimų poreikis pasirodė giliai senovėje, nes matematikos plėtra daugeliu atžvilgių šiais tolimais laikais atsirado dėl poreikio nustatyti labiausiai tikslumą ploto ir žemės sklypų perimetro.

Pavyzdžiai, su sprendžiant kvadratinių lygčių, parengtų pagal tokio pobūdžio užduotis turėtų būti laikoma mūsų.

Taigi, tarkim, yra stačiakampio žemės sklypas, kurio ilgis yra 16 metrų daugiau nei plotis. Reikia rasti svetainės ilgį, plotį ir perimetrą, jei yra žinoma, kad jos plotas yra lygus 612 m 2.

Pradedant reikalas, pirmiausia atlikite reikiamą lygtį. Žymi x svetainės plotį, tada jo ilgis bus (x + 16). Iš rašytinės išvados matyti, kad plotas nustatomas pagal išraišką X (X + 16), kuris, atsižvelgiant į mūsų problemos būklę, yra 612. Tai reiškia, kad x (x + 16) \u003d 612.

Visų kvadratinių lygčių sprendimas ir ši išraiška yra tokia pat, negali būti vykdoma taip pat. Kodėl? Nors kairėje pusėje vis dar yra du veiksniai, produktas nėra lygus 0, todėl čia naudojami kiti metodai.

Diskriminant

Visų pirma, mes gaminsime būtinas transformacijas, tada išvaizda Ši išraiška atrodys taip: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Tai reiškia, kad gavome formą, atitinkančią anksčiau nurodytą standartą, kur a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Tai gali būti kvadratinių lygčių sprendimo pavyzdys diskriminant. Čia reikalingi skaičiavimai Pagaminta pagal schemą: D \u003d B 2 - 4AC. Ši papildoma vertė ne tik leidžia rasti norimas vertes antrosios eilės lygtyje, jis nustato galimų variantų skaičių. Jei d\u003e 0 yra du; Kai D \u003d 0, yra viena šaknis. Byloje D.<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Apie šaknis ir jų formulę

Mūsų atveju diskriminant yra: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Tai rodo, kad egzistuoja atsakymas iš mūsų užduoties. Jei žinote, K, kvadratinių lygčių tirpalas turi būti tęsiamas naudojant žemiau esančią formulę. Tai leidžia jums apskaičiuoti šaknis.

Tai reiškia, kad byloje: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Antroji šios dilemos versija negali būti sprendimas, nes žemės matmenys negali būti matuojami neigiamomis vertėmis, tai reiškia X (ty svetainės plotis) yra 18 m. Nuo čia apskaičiuojame ilgį: 18 + 16 \u003d 34 ir perimetras 2 (34+ 18) \u003d 104 (m 2).

Pavyzdžiai ir tikslai

Mes ir toliau mokomės kvadratinių lygčių. Pavyzdžiai ir išsamus kelių iš jų sprendimas bus skiriamas toliau.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Mes perkeliame viską į kairę lygybės dalį, mes padarysime transformaciją, ty mes gauname lygtį, kuri yra vadinama standartine ir išlyginame jį nuliui.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Po sulankstymo, mes apibrėžiame diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Taigi, mūsų lygtis turės dvi šaknis. Apskaičiuojame juos pagal pirmiau minėtą formulę, o tai reiškia, kad pirmasis iš jų yra 4/3, o antrasis.

2) Dabar atskleiskite kitos rūšies mįsles.

Sužinokite, ar čia yra šaknų čia x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Norėdami gauti išsamų atsakymą, mes duodame polinomą prie tinkamo susipažinimo ir apskaičiuoti diskriminant. Nurodytame pavyzdyje kvadratinės lygties sprendimas nėra būtinas, nes užduoties esmė visai nėra. Šiuo atveju D \u003d 16 - 20 \u003d 4, o tai reiškia, kad yra tikrai nėra šaknų.

Vieta teorema

Kvadratinės lygtys. \\ T Patogu išspręsti per pirmiau minėtas formules ir diskriminant, kai kvadratinė šaknis išgaunama nuo paskutinės vertės. Bet tai ne visada atsitinka. Tačiau yra daug būdų gauti kintamuosius šiuo atveju. Pavyzdys: kvadratinių lygčių sprendimai Vieta teoremui. Ji yra pavadinta po to, kai gyveno XVI amžiuje Prancūzijoje ir padarė puikią karjerą dėl savo matematinių talentų ir kiemų. Jo portretas gali būti matomas straipsnyje.

Modelis, kurį pastebėtas garsus prancūzas, buvo toks. Jis įrodė, kad sumos lygties šaknys yra vienodai lygios -p \u003d B / A, o jų produktas atitinka Q \u003d C / A.

Dabar apsvarstykite konkrečias užduotis.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Siekiant paprastumo, mes transformuojame išraišką:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Mes naudojame "Vieta" teoriją, tai suteiks mums: šaknų dydis yra -7 ir jų darbas -18. Iš čia mes gauname, kad lygties šaknys yra numeriai -9 ir 2. Atlikę čekį, įsitikinkite, kad šios kintamųjų vertės tikrai tinka išraiškoje.

Grafikas ir parabolos lygtis

Sąvokos Kvadratinė funkcija ir kvadratinės lygtys yra glaudžiai susijusios. Tai jau buvo rodomi anksčiau. Dabar apsvarstykite šiek tiek matematinius mįsles. Bet kokia aprašyto tipo lygtis gali būti įsivaizduojama. Panaši priklausomybė, sudaryta grafiko forma, vadinama parabola. Jos įvairūs tipai rodomi žemiau esančiame paveikslėlyje.

Bet parabola turi viršūnę, tai yra taškas, nuo kurio jos filialai išeina. Jei A\u003e 0 jie palieka didelį begalybę ir kai a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizualiniai funkcijų vaizdai padeda išspręsti visas lygtis, įskaitant kvadratą. Šis metodas vadinamas grafiku. Ir kintamojo x vertė yra abscisės koordinatė taškuose, kur grafiko diagrama kerta nuo 0x. Vėlavų koordinates galima rasti pagal vienintelę formulę X 0 \u003d -B / 2A. Ir, pakeičiant gautą vertę pradinei funkcijos lygimui, galite išmokti y 0, tai yra antroji perviršio viršūnės koordinatė, priklausanti ordinatei ašiai.

Kirsti Parabolos šakas su abscissa ašimi

Pavyzdžiai, susiję su kvadratinių lygčių sprendimais, yra labai daug, tačiau yra bendri modeliai. Apsvarstykite juos. Akivaizdu, kad grafiko sankirta su 0x a\u003e 0 ašimi yra įmanoma tik tada, jei gaunama neigiamos vertės. Ir už A.<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Priešingu atveju D.<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Pagal diagramą parabolai gali būti apibrėžti ir šaknys. Priešingai taip pat tiesa. Tai yra, jei gausite vizualinį kvadratinės funkcijos vaizdą nėra lengva, galite prilyginti dešinėje išraiškos pusėje iki 0 ir išspręsti gautą lygtį. Ir žinant sankirtos taškus su 0x ašimi, lengviau sukurti tvarkaraštį.

Nuo istorijos

Naudojant lygtis, kuriose yra kintamasis, pakeltas į kvadratą, senais laikais ne tik matematiniai skaičiavimai ir nustatė geometrinių figūrų plotą. Panašūs senovės skaičiavimai buvo reikalingi dideliems atradimams fizikos ir astronomijos srityje, taip pat sudaryti astrologines prognozes.

Kadangi šiuolaikiniai mokslo duomenys rodo, tarp pirmųjų kvadratinių lygčių sprendimų, Babilono gyventojai paėmė. Tai įvyko keturis šimtmečius prieš mūsų eros pradžią. Žinoma, jų skaičiavimai šaknyje skyrėsi nuo dabar priimtų ir pasirodė esanti daug primityvi. Pavyzdžiui, mesopotamian matematikai neturėjo idėjos apie neigiamų skaičių egzistavimą. Nepažįstami žmonės taip pat turėjo kitų subtilybių iš tų, kurie žino bet kurį mūsų laiko studentą.

Galbūt net ankstesni Babilono mokslininkai, įdarbino kvadratinių lygčių sprendimą, buvo įdarbintas Indijos "Budhoyama" šalavijas. Tai įvyko apie aštuonis šimtmečius prieš Kristaus erą. Tiesa, antrosios eilės lygtis, jo vadovaujamo sprendimo būdai buvo labiausiai vienu metu. Be jo, tokie klausimai buvo suinteresuoti senais ir kinų matematikais. Europoje kvadratinių lygtys pradėjo išspręsti tik XIII a. Pradžioje, tačiau vėliau jie buvo naudojami tokie dideli mokslininkai kaip Niutonas, Descartes ir daugelis kitų.

Bibliografinis aprašymas: Gasanov A. R., Kuramshin A. A. A., Yelkov A. A. A., Širenkovas N. V., Ulanov D. D., Smeleva O. V. Būdai sprendžiant kvadratinių lygčių // Jaunas mokslininkas. - 2016. - №6.1. - S. 17-20...03.2019).



Mūsų projektas yra skirtas būdams spręsti kvadratinių lygčių. Projekto tikslas: išmokti išspręsti kvadratinių lygčių tokiais būdais, kurie nėra įtraukti į mokyklos programas. Užduotis: Rasti visus įmanomus būdus išspręsti kvadratinių lygtis ir sužinoti, kaip juos naudoti save ir pristatyti klasiokus su šiais būdais.

Kas yra "kvadratinės lygtys"?

Kvadratinė lygtis - tipo lygtis kirvis.2 + BX + C \u003d 0kur a., b., c. - kai kurie numeriai ( a ≠ 0.), x. - Nežinoma.

A, B, C numeriai vadinami kvadratinės lygties koeficientais.

• a yra vadinamas pirmuoju koeficientu;
• b yra vadinamas antrasis koeficientas;
• c - NEMOKAMAS narys.

Ir kas yra pirmoji "išrado" kvadratinių lygtis?

Kai kurie linijinių ir kvadratinių lygčių šalinimo algebriniai metodai buvo žinomi kaip prieš 4000 metų senovės Babilone. Senovės Babilonijos molio plokštės randamos kažkur tarp 1800 ir 1600 m. Pr. Kr., Yra ankstyviausios kvadratinių lygčių tyrimo įrodymas. Tais pačiais ženklais pateikiami kai kurių tipų kvadratinių lygčių tipų sprendimo būdai.

Poreikis išspręsti lygtis ne tik pirmoji, bet ir antrąjį laipsnį senovėje buvo sukeltas poreikis išspręsti užduotis, susijusias su žemės plotų vieta ir su žemės darbais karinio pobūdžio, taip pat su astronomijos plėtra ir Matematika pati.

Šių lygčių sprendimas Babilonijos tekstuose iš esmės sutampa su šiuolaikinėmis, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai pasiekė šią taisyklę. Beveik visi klinows tekstai, rasti iki šiol, tik užduotys su sprendimais, išdėstytais receptų forma, be požymių, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukšto lygio Algebros vystymosi Babilone, Clinox tekstuose trūksta neigiamo skaičiaus ir bendrų kvadratinių lygčių sprendimo būdų.

Babilonijos matematika nuo IV a. BC. Naudojo kvadrato papildymo metodą, kad išspręstumėte teigiamų šaknų lygtis. Apie 300 bc. Euklidas sugalvojo bendresnį geometrinio sprendimo metodą. Pirmasis matematikas, kuris rado lygties sprendimus su neigiamomis šaknimis algebrinės formulės forma buvo Indijos mokslininkas Brahmagupta. (Indija, VII a. Mūsų eros).

Brahmagupta nurodė bendrą taisyklę sprendžiant kvadratines lygtis vienai kanoninėje formoje:

aX2 + BX \u003d C, A\u003e 0

Šioje lygtyje koeficientai gali būti neigiami. Brahmagupta taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

Indijoje viešieji konkursai buvo platinami sprendžiant sudėtingas užduotis. Vienoje iš senų Indijos knygų, pasakyta apie tokius konkursus taip: "Kaip saulė yra blizginanti su savo žvaigždėmis, todėl mokslininkas žmogus Elicite Fame in liaudies susirinkimas, algebrinių užduočių siūlymas ir sprendimas. " Užduotys dažnai mėgaujasi poetine forma.

Algebrinėje gydymuose Al-khorezmi. Pateikiama linijinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius apima 6 lygčių rūšis, išreiškiant juos taip:

1) "kvadratai yra lygūs šaknų", t.y. ah2 \u003d bx.

2) "kvadratai yra lygūs numeriui", t.e. ah2 \u003d s.

3) "Šaknys yra lygios numeriui", tai yra, AH2 \u003d p.

4) "kvadratai ir skaičiai yra lygūs šaknų", t.e. ah2 + c \u003d bx.

5) "kvadratai ir šaknys yra lygūs numeriui", tai yra, AH2 + BX \u003d p.

6) "šaknys ir skaičiai yra lygūs kvadratų", ty BX + C \u003d\u003d AH2.

Al-Khorezmi, vengiant neigiamų numerių naudojimo, kiekvienos iš šių lygčių nariai yra pagrįsti, o ne atimami. Tuo pačiu metu, tai nėra akivaizdžiai atsižvelgiama į lygtis, kad neturi teigiamų sprendimų. Autorius nustato būdus, kaip išspręsti šias lygtis, naudojant Al-Jabr ir Al-Mukabala metodus. Žinoma, jo sprendimas nesutampa su mūsų. Jau jau nekalbant apie tai, kad jis yra tik retorinis, reikia pažymėti, pavyzdžiui, kad sprendžiant neišsamią pirmosios al-Korezmos rūšių lygtį, kaip ir visa matematika iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulinį sprendimą , tikriausiai, nes konkrečiu praktiniu praktiniu praktiniu jos nesvarbu užduotis. Sprendžiant pilnas kvadratinių lygtis, al-urkai privačių skaitmenų pavyzdžiuose nustato sprendimo taisykles, o tada jų geometrinius įrodymus.

Iš kvadratinių lygčių tirpalo atrinkimo Al-Khorezmi Europoje buvo pirmiausia išdėstyti "Abaka" knygoje "parašyta 1202G. Italų matematikas Leonardas Fibonacci.. Autorius sukūrė nepriklausomai kai kurie nauji algebriniai pavyzdžiai sprendžiant problemas ir pirmasis Europoje kreipėsi į neigiamų skaičių įvedimą.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių plitimo ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje ir kitose Europos šalyse. Daugelis užduočių iš šios knygos buvo beveik į visus Europos vadovėlius XIV-XVII šimtmečius. Pagrindinė taisyklė Sprendimai dėl kvadratinių lygčių, suteiktų vienai kanoninės formos x2 + BX \u003d C su visų rūšių požymių ir koeficientų b, c rūšių, buvo suformuluota Europoje 1544 m. M. SCIGEL.

Kvadratinės lygties sprendimo formulės išvestis apskritai. \\ T Yra Vieta, tačiau Viet pripažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Taralija, Cardano, bombelly Tarp pirmųjų XVI a. Atsižvelgiant į teigiamą ir neigiamą šaknų. Tik XVII a. Dėka darbo vieta Girard, Descartes, Newton Ir kiti mokslininkai Skiršių lygčių sprendimo būdą užima šiuolaikinę išvaizdą.

Apsvarstykite keletą būdų spręsti kvadratinių lygčių.

Standartiniai būdai sprendžiant kvadratinių lygčių iš mokyklos programos:

1. Kairiosios gamyklos lygties dalių skaidymas.
2. Viso kvadrato paskirstymo metodas.
3. Kvadratinių lygčių tirpalas pagal formulę.
4. Kvadratinio lygties grafinis sprendimas.
5. Sprendžiant lygtis naudojant Vieta teoremą.

Leiskite mums gyventi ant pirmiau minėtų ir ne įtrauktų kvadratinių lygčių į Vieta teoremą.

Prisiminkite, kad išspręsti pirmiau minėtas kvadratines lygtis, pakanka rasti du numerius, kurių produktas yra lygus laisvam nariui, o suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu.

Pavyzdys.x. 2 -5x + 6 \u003d 0

Būtina rasti numerius, kurių darbas yra 6, ir suma 5. Tokie skaičiai bus 3 ir 2.

Atsakymas: X. 1 \u003d 2, x 2 =3.

Tačiau šis metodas gali būti naudojamas lygtis, kurių pirmasis koeficientas nėra lygus.

Pavyzdys.3x. 2 + 2x-5 \u003d 0

Paimkite pirmąjį koeficientą ir padauginkite jį nemokamu terminu: x 2 + 2x-15 \u003d 0

Šios lygties šaknys bus numeriai, kurių produktas yra - 15, o suma yra lygi - 2. Šie skaičiai yra 5 ir 3 norint rasti pirminės lygties šaknis, šaknys, gaunamas padalinti pirmąjį koeficientą .

Atsakymas: X. 1 \u003d -5 / 3, x 2 =1

6. lygčių sprendimas pagal "tranzito" metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį AH2 + BX + C \u003d 0, kur a ≠ 0.

Abiejų dalių padauginimas a, mes gauname 2 x 2 + ABH + AC \u003d 0 lygtį.

Leiskite OH \u003d Y, kur x \u003d y / a; Tada ateikite į 2 + AC \u003d 0 lygtį, lygiavertį. Jo šaknys 1 ir 2 bus rasti su Vietos teoremo pagalba.

Mes pagaliau gauti x 1 \u003d 1 / A ir x 2 \u003d Y 2 / a.

Šiame metode koeficientas A yra padaugintas iš laisvo nario, nesvarbu, kaip "perduodama", tai vadinama "tranzito" metodu. Šis metodas naudojamas, kai jūs galite lengvai rasti lygties šaknis naudojant Vieta teorem ir, svarbiausia, kai diskriminant yra tiksli aikštė.

Pavyzdys.2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

"Mes perkeliame koeficientą 2 į nemokamą narį ir pakeisime, kad gautume lygtį 2 - 11u + 30 \u003d 0.

Pagal atvirkštinę Vieta teoremą

1 \u003d 5, x 1 \u003d 5/2, x 1 \u003d 2.5; 2 \u003d 6, x 2 \u003d 6/2, x 2 \u003d 3.

Atsakymas: H. 1 \u003d 2.5; H. 2 = 3.

7. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

Leiskite kvadratinės lygties AH2 + BX + C \u003d 0, ir ≠ 0.

1. Jei A + B + C \u003d 0 (t.y. lygties koeficientų suma yra nulis), tada x 1 \u003d 1.

2. Jei a - b + c \u003d 0, arba b \u003d a + s, tada x 1 \u003d - 1.

Pavyzdys.345x. 2 - 137x - 208 \u003d 0.

Nuo A + B + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), tada x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Atsakymas: H. 1 \u003d 1; H. 2 = -208/345 .

Pavyzdys.132x. 2 + 247x + 115 \u003d 0

Nes. A-B + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), tada x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Atsakymas: H. 1 \u003d - 1; H. 2 =- 115/132

Yra ir kitų savybių kvadratinių lygčių koeficientų. Tačiau ledinis naudojimas yra sudėtingesnis.

8. Sprendimas kvadratinių lygčių su nomograma.

1 pav. Nomogram

Tai senas ir šiuo metu pamirštas būdas išspręsti kvadratines lygtis, pateiktas S.83 kolekcijai: Brandis V.m. Keturių skaitmenų matematiniai lentelės. - M., Apšvieta, 1990 m.

XXII lentelė. Nomograma siekiant išspręsti lygtį z 2 + pz + q \u003d 0. Ši nomograma leidžia išspręsti kvadratinę lygtį, jos koeficientai nustatyti lygties šaknis.

Nomogramos kreivos skalę sukuria formulės (1 pav.):

Tikėjo OS \u003d p, ed \u003d q, oe \u003d a (visi cm), nuo trikampių panašumo 1 pav. San. ir. \\ T CDF. Mes gauname proporciją

kur po pakeitimų ir supaprastinimų seka lygtį z2 + pz + q \u003d 0,be to, laiškas z. reiškia bet kokio kreivinės skalės taško etiketę.

Fig. 2 kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą

Pavyzdžiai.

1) lygimui z. 2 - 9Z + 8 \u003d 0 Nomograma suteikia šaknis z 1 \u003d 8,0 ir z2 \u003d 1.0

Atsakymas: 8.0; 1.0.

2) sprendimai su nomogramos lygtimi

2z. 2 - 9Z + 2 \u003d 0.

Mes padalijame šios lygties koeficientus 2, mes gauname Z2 - 4.5z + 1 \u003d 0 lygtį.

Nomograma suteikia šaknis Z1 \u003d 4 ir Z2 \u003d 0,5.

Atsakymas: 4; 0,5.

9. Geometrinis metodas sprendžiant kvadratinių lygčių.

Pavyzdys.h. 2 + 10x \u003d 39.

Originalioje ši užduotis yra suformuluota taip: "Square ir dešimt šaknys yra 39".

Apsvarstykite kvadratą nuo X pusės, stačiakampiai yra pastatyti į savo šalis, kad kita kiekvienos iš jų pusė yra 2,5, todėl kiekviena sritis yra 2,5x. Gautas skaičius papildo naują ABSD kvadratą, užpildant keturias vienodas kvadratus kampuose, kiekvienos iš jų pusė yra 2,5, o plotas yra 6.25

Fig. 3 grafinis būdas išspręsti x 2 + 10x \u003d 39

"ABCD Square S" gali būti atstovaujama kaip erdvės kiekis: pradinis kvadratinis x 2, keturi stačiakampiai (4 ∙ 2.5x \u003d 10x) ir keturi pridedami kvadratai (6.25 ∙ 4 \u003d 25), t.y. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. X2 + 10x numerio pakeitimas 39, mes gauname, kad S \u003d 39+ 25 \u003d 64, iš kur tai reiškia, kad AVD kvadrato pusėje, t.y. Iškirpkite AB \u003d 8. Norima pirminės aikštės X pusėje

10. Lygčių sprendimas naudojant "Mouture Theorem".

Teorema pjauti. Likutis iš polinominio P (X) pasiskirstymo ant X - α yra P (α) (tai yra, vertė P (x) x \u003d α).

Jei numeris α yra polinominio p (x) šaknis, tada šis polinomas yra padalintas į x -α be liekanos.

Pavyzdys.x²-4x + 3 \u003d 0

P (x) \u003d x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α \u003d 1, 1-4 + 3 \u003d 0. Mes padalijame P (x) iki (x - 1): (x²-4x + 3) / (x - 1) \u003d x-3

x²-4x + 3 \u003d (x - 1) (x - 3), (x - 1) (x - 3) \u003d 0

x - 1 \u003d 0; x \u003d 1 arba x-3 \u003d 0, x \u003d 3; Atsakymas: H.1 \u003d 2, x2 =3.

Išėjimas: Gebėjimas greitai ir racionaliai išspręsti kvadratinių lygtis yra tiesiog būtina išspręsti sudėtingesnes lygtis, pavyzdžiui, dalines racionalias lygtis, lygtis didesnių laipsnių, BIC-muito lygtis, ir vyresnysis mokykla trigonometrinių, orientacinių ir logaritminių lygčių. Išnagrinėjęs visus nustatytus būdus, kaip išspręsti kvadratines lygtis, galime patarti klasiokams, išskyrus standartinius metodus, sprendžiant transformacijos metodą (6) ir sprendžiant lygtis koeficiento turtui (7), nes jie yra labiau prieinami suprasti supratimą.

Literatūra:

1. Bradis V.m. Keturių skaitmenų matematiniai lentelės. - M., Apšvieta, 1990 m.
2. Algebra klasė 8: pamoka 8 cl. Bendrasis išsilavinimas. Institucijos Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neškovas K. I., Suvorov S. B. B. ED. S. A. Telikovsky 15 Ed., Doraby. - m.: Apšvietimas, 2015 m
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0D0D0D0D0D0D1%D1%82%D0D0D0D%D0%GE%D0. .% B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% D0% BD% D0% B8% D0% B5
4. Glaser G.I. Matematikos istorija mokykloje. Mokytojų vadovas. / Ed. V.N. Jaunas. - m.: Apšvietimas, 1964 m.

Pirmasis lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Kalbant apie "kvadratinę lygtį", raktas yra žodis "aikštė". Tai reiškia, kad kintamasis turi būti lygtyje (tame pačiame IX) aikštėje, ir trečiame (ir didesniame) laipsnyje neturėtų būti jokios IC.

Daugelio lygčių tirpalas sumažinamas iki tiksliai kvadratinių lygčių.

Sužinokite, kaip nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kitą.

1 pavyzdys.

Kiekvienas danominatoriaus lygties narys ir dominarrumas atsikratys vardiklio

Mes perkeliame viską į kairę ir įdėkite narius mažėjančia ICA laipsnių tvarka

Dabar galite pasitikėti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Vidaus kairėje ir dešinėje pusėje:

Ši lygtis, nors ji buvo iš pradžių, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Doming visi:

Baugus? Ketvirtas ir antrasis laipsnis ... Tačiau, jei mes pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad tai yra, bet pažvelgsime atidžiai. Mes perkeliame viską į kairę:

Žiūrėkite, sumažėjo - ir dabar tai yra paprasta linijinė lygtis!

Dabar pabandykite nustatyti, kuris iš šių lygčių yra kvadratinių ir kurių ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. aikštė;
2. aikštė;
3. ne aikštė;
4. ne aikštė;
5. ne aikštė;
6. aikštė;
7. ne aikštė;
8. aikštė.

Matematika Balandiškai padalinkite visas kvadratines lygtis ant tipo:

• Visos kvadratinės lygtys - lygtys, kuriose koeficientai ir, taip pat laisvas narys nėra lygūs nuliui (kaip ir pavyzdyje). Be to, tarp pilnų kvadratinių lygčių skiria pateikta - Tai yra lygtys, kai koeficientas (lygtis iš pavyzdžio yra ne tik baigtas, bet ir duotas!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys - lygtys, kuriose koeficientas ir laisvas narys yra nulis:

  Nepamirškite, nes jiems trūksta tam tikro elemento. Tačiau lygtis visada turėtų būti kvadratiniame !!! Priešingu atveju jis nebus kvadratinis, bet kai kurios kitos lygties.

Kodėl sugalvojote tokį padalijimą? Atrodytų, kad aikštėje yra X ir gerai. Toks padalijimas yra susijęs su sprendimų metodais. Apsvarstykite kiekvieną iš jų išsamiau.

Nebaigtų kvadratinių lygčių sprendimas

Norėdami pradėti, mes sustosime išspręsti neišsamias kvadratines lygtis - jie yra daug paprastesni!

Nebaigtos kvadratinės lygtys yra tipai:

1. Šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. Šioje lygtyje laisvas narys yra lygus.
3. Šioje lygtyje, koeficientas ir laisvas narys yra lygūs.

1. Ir. Kaip žinome, kaip išgauti kvadratinę šaknį, išreiškiame šią lygtį

Sąvoka gali būti neigiama ir teigiama. Į aikštę pastatytas skaičius negali būti neigiamas, nes su dviem neigiamais arba dviem teigiamais skaičiais - rezultatas visada bus teigiamas skaičius, kad jei lygtis neturi sprendimų.

Ir jei gausite dvi šaknis. Šios formulės nereikia įsiminti. Svarbiausia, ką turėtumėte žinoti ir visada prisiminti, kad jis gali būti ne mažesnis.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Dabar lieka pašalinti iš kairės ir dešinės pusės. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu !!!

6 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Oi! Numerio kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia lygtį

nėra šaknų!

Dėl tokių lygčių, kuriose nėra šaknų, matematika atvedė su specialia piktograma - (tuščia rinkinys). Ir atsakymas gali būti parašytas kaip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes nenaudojome šaknų.
8 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Aš apibendrinsiu skliaustelius:

Šiuo būdu,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Lengviausias neišsamių kvadratinių lygčių tipas (nors jie visi yra paprasti, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia mes darysime be pavyzdžių.

Visų kvadratinių lygčių sprendimas

Mes jums priminti, kad visa kvadratinė lygtis yra lygties lygtis, kur

Visų kvadratinių lygčių sprendimas yra šiek tiek sudėtingesnis (labai šiek tiek) nei pirmiau.

Prisiminti, bet kokia kvadratinė lygtis gali būti išspręsta diskriminuojant! Net neišsami.

Likusieji būdai padės tai padaryti greičiau, bet jei turite problemų su kvadratinėmis lygtimis, pradėti, sprendimas vadinamas diskriminuojančiu pagalba.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas su diskriminant.

Kvadratinių lygčių sprendimas yra labai paprastas, pagrindinis dalykas yra prisiminti veiksmų seką ir pora formules.

Jei lygtis turi ypatingą dėmesį į žingsnį. Diskriminant () nurodo mus apie lygties šaknų skaičių.

• Jei, formulė yra sumažinta iki. Taigi lygtis turės visą šaknį.
• Jei, mes negalėsime išgauti šaknų nuo diskriminano. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie mūsų lygčių ir apsvarstykite keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 žingsnis.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Jis negalės išgauti šaknų nuo diskriminant. Lygties šaknys nėra.

Dabar mes žinome, kaip rašyti tokius atsakymus teisingai.

Atsakymas:Nėra šaknų

2. Sprendimas kvadratinių lygčių naudojant Vieta teorem.

Jei prisimenate, tai yra tokia lygčių, kurios yra vadinamos pateikiamos (kai koeficientas yra lygus):

Tokios lygtys yra labai lengva išspręsti naudojant Vieta teoremą:

Šaknų suma nurodyta Kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų produktas yra lygus.

12 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Ši lygtis tinka sprendžiant Vieta teoremą, nes .

I lygties šaknų suma yra lygi, t. Y. Mes gauname pirmąją lygtį:

Ir darbas yra:

Mes taip pat nuspręsime apie sistemą:

• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Pateikiama lygtis, todėl:

Atsakymas:

Kvadratinės lygtys. Vidutinis lygis

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra rūšies lygtis, kurioje nežinoma yra kai kurie numeriai, ir.

Numeris vadinamas vyresniuoju arba pirmasis koeficientas Kvadratinė lygtis - antrasis koeficientas, bet - nEMOKAMAS narys.

Kodėl? Nes jei lygtis nedelsiant tampa linijine, nes išnyksta.

Tuo pačiu metu ir gali būti nulis. Šioje kėdėje lygtis vadinama neišsami. Jei visi komponentai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių rūšių kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Norėdami pradėti, mes analizuosime neišsamių kvadratinių lygčių sprendimų metodus - jie yra lengviau.

Galite pasirinkti tokių lygčių tipą:

I. Šioje lygtyje, koeficientas ir laisvas narys yra lygūs.

Ii. Šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. Šioje lygtyje laisvas narys yra lygus.

Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Į aikštę pastatytas skaičius negali būti neigiamas, nes su dviem neigiamais ar dviem teigiamais skaičiais, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Todėl:

jei lygtis neturi sprendimų;

jei išmokome dvi šaknis

Šios formulės nereikia įsiminti. Svarbiausia prisiminti, kad jis gali būti ne mažesnis.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Numerio kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia lygtį

nėra šaknų.

Trumpai įrašyti, kad užduotis neturi sprendimų, naudokite tuščią rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Apibendrinsiu skliaustų gamyklą:

Produktas yra nulis, jei bent vienas iš daugiklio yra nulis. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Skleiskite kairę gamyklos lygtį ir suraskite šaknis:

Atsakymas:

Visų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminant

Skirtingų lygčių sprendimas tokiu būdu paprasta, svarbiausia yra prisiminti veiksmų seką ir pora formules. Atminkite, bet kokia kvadratinė lygtis gali būti išspręsta su diskriminant! Net neišsami.

Ar pastebėjote šaknų šaknį šaknų formulėje? Tačiau diskriminant gali būti neigiamas. Ką daryti? Turime atkreipti ypatingą dėmesį į 2 žingsnį. Diskriminieriai nurodo mus dėl lygties šaknų skaičiaus.

• Jei lygtis turi šaknį:
• Jei lygtis turi tą pačią šaknį ir iš tiesų, viena šaknis:

  Tokios šaknys yra vadinamos dvigubai.

• Jei diskriminano šaknis nepašalinama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl galima skirtingą šaknų skaičių? Pasukite į geometrinę kvadratinio lygties prasmę. Funkcijos grafikas yra parabola:

Tam tikru atveju, kuris yra kvadratinė lygtis. Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra sankirtos taškai su abscisos ašimi (ašimi). Parabola negali kirsti ašies arba kirsti jį į vieną (kai parabolos viršuje yra ant ašies) arba du taškus.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolos šakų kryptį. Jei parabolos šakos yra nukreiptos į viršų, ir jei jis yra žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Taigi, nėra sprendimų.

Atsakymas:.

2. Vieta teorema

Vieta teorema yra labai paprasta naudoti: jūs tiesiog reikia pasiimti tokį skaičių skaičių, kurio produktas yra lygus laisvam nariui lygties, ir suma yra antrasis koeficientas, priimtas su priešingu ženklu.

Svarbu prisiminti, kad Vietos teorema gali būti naudojama tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Apsvarstykite keletą pavyzdžių:

1 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinka sprendžiant Vieta teoremą, nes . Likusios koeficientai:; .

Iš lygties šaknų suma yra:

Ir darbas yra:

Pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra lygus ir patikrinkite, ar jų suma yra lygi:

• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi, mūsų lygties šaknys.

Atsakymas:; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Atrinksime tokias darbo poras, kurios pateiktos darbe, ir patikrinkite, ar jų suma yra lygi:

ir: jie davė.

ir: jie davė. Norėdami gauti pakankamai, kad pakeistumėte tariamų šaknų požymius: ir, nes darbas.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvas lygties narys yra neigiamas, o tai reiškia šaknų produktą - neigiamą skaičių. Tai įmanoma tik tada, kai viena iš šaknų yra neigiama, o kitas yra teigiamas. Todėl šaknų kiekis yra lygus jų modulių skirtumai.

Atrinksime tokias darbo vietų poras, kurios yra pateiktos darbe, o jų skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas yra lygus - netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - Tinka. Jis lieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turėtų būti lygi, tada neigiamas turėtų būti mažesnis šaknų modulis :. Patikrinti:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikiama lygtis, todėl:

Laisvas narys yra neigiamas, todėl šaknų produktas yra neigiamas. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena šaknis lygtis yra neigiama, o kitas yra teigiamas.

Mes pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra lygus, o tada mes apibrėžiame, kurios šaknys turėtų turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys yra tinkamos pirmai sąlygai ir:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikiama lygtis, todėl:

Šaknų kiekis yra neigiamas, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų darbas yra teigiamas, tai reiškia abu šaknis su minuso ženklu.

Mes pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra:

Akivaizdu, kad šaknys yra numeriai ir.

Atsakymas:

Sutinku, tai yra labai patogu - išradinėti šaknis žodžiu, o ne apsvarstyti šią bjaurus diskriminant. Pabandykite naudoti Vietos teoriją kiek įmanoma.

Tačiau Vieta teorema reikalinga siekiant palengvinti ir paspartinti šaknų išvadą. Norėdami padėti jums jį naudoti, turite imtis veiksmų automatizmui. Ir už tai, šmeižto daugiau kulnų pavyzdžių. Bet ne skalavimas: diskriminant negalima naudoti! Tik Vietos teorema:

Užduočių sprendimai savarankiškam darbui:

Užduotis 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vieta teorema:

Kaip įprasta, mes pradedame darbo pasirinkimą:

Netelpa, nes suma;

: Suma - tai, ko jums reikia.

Atsakymas:; .

2 užduotis.

Ir vėl, mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: sumoje turėtų pasirodyti, o darbas yra lygus.

Bet kadangi jis neturėtų būti, bet pakeiskite šaknų požymius: ir (sumoje).

Atsakymas:; .

3 užduotis.

Hmm ... ir kur kas?

Būtina perkelti visas sąlygas vienoje dalyje:

Šaknų kiekis yra lygus, darbas.

Taigi, sustabdykite! Lygtis nėra pateikta. Tačiau Vieta teorema yra taikoma tik pirmiau minėtose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pareikšti lygtį. Jei neveikia, išmeskite šią idėją ir nuspręskite kitaip (pavyzdžiui, diskriminant). Leiskite jums priminti, kad atneša kvadratinę lygtį - tai reiškia, kad vyresnysis koeficientas būtų:

Puikus. Tada šaknų kiekis yra lygus ir darbas.

Čia lengviau pasiimti paprastą: galų gale paprastas numeris (atsiprašau dėl tautologijos).

Atsakymas:; .

4 užduotis.

Nemokamas narys yra neigiamas. Kas ypatinga tai? Ir tai, kad šaknys bus skirtingi ženklai. Ir dabar atrankos metu mes nekontroliuojame šaknų kiekio, tačiau skirtumas tarp jų modulių: šis skirtumas yra lygus ir darbas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų su minusu. Vieta teorema mums sako, kad šaknų kiekis yra lygus antrajam koeficientui su priešingu ženklu, tai yra. Taigi minus bus mažesnėje šaknyse: ir nuo to laiko.

Atsakymas:; .

5 užduotis.

Ką reikia padaryti pirmiausia? Teisė, pareikšti lygtį:

Vėlgi: mes pasirenkame skaičiaus daugiklius ir jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet vienas iš jų su minusu. Ką? Jų suma turėtų būti lygi, tai reiškia, kad minus bus didesnis.

Atsakymas:; .

Aš apibendrinsiu:

1. Vieta teorema naudojama tik tam tikrose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vieta teoremą galite rasti šaknų pasirinkimu, žodžiu.
3. Jei lygtis nėra pateikta arba nėra tinkamos poros daugiklių nemokamo nario, o tai reiškia, kad nėra visos šaknys, ir būtina išspręsti kitą metodą (pavyzdžiui, diskriminant).

3. Viso kvadrato paskirstymo metodas

Jei visos sąlygos, kurias sudaro nežinoma, pristatyti sutrumpintos sumos sumos ar skirtumo sumos komponentų forma, tada pakeitus kintamuosius, gali būti atstovaujama lygtis. .

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį :.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį :.

Sprendimas:

Atsakymas:

Apskritai, transformacija atrodys taip:

Tai reiškia :.

Nieko primena? Tai yra diskriminant! Tai yra diskriminano formulė ir gavo.

Kvadratinės lygtys. Trumpai apie pagrindinį dalyką

Kvadratinė lygtis- Tai yra rūšies lygtis, kur - nežinoma, - kvadratinės lygties koeficientai yra laisvas narys.

Visa kvadratinė lygtis - lygtis, kuria koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis - lygtis, kurioje koeficientas yra :. \\ t

Nebaigta kvadratinė lygtis - lygtis, kurioje koeficientas ir laisvas narys yra nulis:

• jei koeficientas, lygtis yra :,
• jei laisvas narys, lygtis turi formą: \\ t
• jei lygtis turi formą :.

1. Algoritmo sprendimas neišsamių kvadratinių lygčių

1.1. Neišsamoje kvadratinės rūšies lygtis, kur:

1) išreikšti nežinomą:

2) išraiškos ženklo tikrinimas:

• jei lygtis neturi sprendimų,
• jei lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Neišsamoje kvadratinės rūšies lygtis, kur:

1) Aš apibendrinsiu skliaustų gamyklą:

2) Produktas yra nulis, jei bent vienas iš daugiklio yra nulis. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Neišsamos rūšies lygybės, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį :.

2. Algoritmas, skirta išspręsti visas rūšies lygtis, kur

2.1. Sprendimas su diskriminuojančia pagalba

1) Mes suteikiame lygtį į standartinę formą: \\ t

2) Apskaičiuokite diskriminant pagal formulę: tai rodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei lygtis turi šaknį, kuri yra formulėje:
• jei lygtis turi šaknį, kuri yra pagal formulę:
• jei lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant "Vieta" teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų sumos (formos lygtis, kur) yra lygūs, o šaknų produktas yra lygus, t. Y.. , bet.

2.3. Išspręskite visą kvadratinį paskirstymo metodą

Jei kvadratinė lygtis yra įsišaknijusi, ji gali būti parašyta forma :.

Na, tema baigta. Jei perskaitėte šias eilutes, tuomet esate labai kietas.

Kadangi tik 5 proc. Žmonių sugeba įveikti kažką savo. Ir jei perskaitėte iki galo, tada jūs patekote į šiuos 5%!

Dabar svarbiausias dalykas.

Jūs supratote apie šią temą. Ir aš kartoju, tai tik super! Jūs esate geriau nei absoliuti dauguma jūsų bendraamžių.

Problema yra ta, kad tai gali būti nepakankama ...

Kam?

Sėkmingai perduoti naudojimą, priėmimą į institutą dėl biudžeto ir, svarbiausia, gyvenimui.

Aš nieko netikinsiu, aš tiesiog pasakysiu vieną dalyką ...

Žmonės, kurie gavo gerą išsilavinimą, uždirba daug daugiau nei tie, kurie to negavo. Tai yra statistika.

Bet tai nėra pagrindinis dalykas.

Svarbiausia yra tai, kad jie yra laimingesni (yra tokių tyrimų). Galbūt dėl \u200b\u200bto, kad yra daug daugiau galimybių jiems ir gyvenimas tampa ryškesnis? Aš nežinau...

Bet manau, kad esu ...

Ką reikia, kad būtumėte geriau nei kiti egzaminui ir galiausiai ... laimingesni?

Užpildykite ranką sprendžiant užduotis šia tema.

Jūs neprašysite egzamino teorijos.

Jums reikės uždarykite užduotis.

Ir jei jūs jų neišspręsite (daug!), Jūs tikrai esate kvailai klaidingai klaidingai arba tiesiog neturite laiko.

Tai tarsi sporto - jums reikia kartoti kartų laimėti tikrai.

Rasti, kur norite kolekcijos, privaloma su sprendimais, išsami analizė Ir nuspręskite, nuspręskite!

Galite naudoti savo užduotis (nebūtinai) ir mes, žinoma, mes rekomenduojame juos.

Norint užpildyti ranką su mūsų užduotimis, jums reikia padėti pratęsti gyvenimą į vadovėlį "YouCer", kurį skaitote dabar.

Kaip? Yra dvi galimybės:

1. Atviras prieiga prie visų paslėptų užduočių šiame straipsnyje - 299 RUB.
2. Atviras prieiga prie visų paslėptų užduočių visuose 99 vadovėlio straipsniuose - 499 RUB.

Taip, mes turime 99 tokius straipsnius mūsų vadovėlyje ir prieigą prie visų užduočių ir visi paslėpti tekstai gali būti atidaryti nedelsiant.

Galimybė naudotis visomis paslėptomis užduočių teikiama visai svetainės egzistavimui.

Apibendrinant...

Jei mūsų užduotys nepatinka, suraskite kitus. Tiesiog nesibaigkite teorijai.

"Aš suprantu" ir "galiu nuspręsti" yra visiškai skirtingi įgūdžiai. Jums reikia abiejų.

Raskite užduotį ir nuspręskite!

Mes ir toliau mokomės tema " sprendimo lygtis. \\ T" Mes jau susitiko su linijinėmis lygtimis ir eikite į pažįstamą su kvadratinės lygtys. \\ T.

Pirmiausia išanalizuosime, kokia kvadratinė lygtis yra parašyta apskritai ir pateikti susijusius apibrėžimus. Po to išsamiai analizuojame išsamiai, kaip išspręstos neišsamios kvadratinės lygtys. Be to, mes kreipiamės išspręsti visas lygtis, mes gauname šaknų formulę, mes susipažinsime su kvadrančiųjų lygties diskriminavimu ir apsvarstyti būdingų pavyzdžių sprendimus. Galiausiai, atsekti ryšį tarp šaknų ir koeficientų.

Naršymo puslapis.

Kas yra kvadratinė lygtis? Jų rūšis

Pirmiausia jums reikia aiškiai suprasti, kas yra kvadratinė lygtis. Todėl pokalbis apie kvadratinių lygtis logiškai prasidėjo nuo kvadratinės lygties apibrėžimo, taip pat susijusių apibrėžimų. Po to galima apsvarstyti pagrindines kvadratinių lygčių tipus: taikomuosius ir neapmokamus, taip pat išsamias ir neišsami lygtis.

Apibrėžimas ir pavyzdžiai kvadratinių lygčių

Apibrėžimas.

Kvadratinė lygtis - tai yra tipo lygtis a · x 2 + b · x + c \u003d 0 kur X yra kintamasis, A, B ir C - kai kurie numeriai ir įvairūs nuliai.

Nedelsiant, pasakykime, kad kvadratinės lygtys dažnai vadinamos antrojo laipsnio lygtims. Taip yra dėl to, kad kvadratinė lygtis yra algebrinė lygtis antrasis laipsnis.

Išraiška apibrėžtis leidžia jums pateikti kvadratinių lygčių pavyzdžius. Taigi 2 · x 2 + 6 · x + 1 \u003d 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 \u003d 0 ir kt. - Tai yra kvadratinės lygtys.

Apibrėžimas.

Skaičiai. \\ T a, b ir c kvadratinės lygties koeficientai a · x 2 + b · x + c \u003d 0, o koeficientas A yra vadinamas pirmuoju arba senesniu arba koeficientu x 2, b yra antrasis koeficientas arba koeficientas su X ir su nemokamu nariu .

Pavyzdžiui, mes priimame kvadratinę lygtį 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, čia vyresnysis koeficientas yra 5, antrasis koeficientas yra -2, o laisvas narys yra -3. Pastaba, kai koeficientai B ir (arba) C yra neigiami kaip pirmiau pateiktame pavyzdyje, jis naudoja trumpą kvadratinės lygties 5 · x 2 -2 · x-3 \u003d 0, o ne 5 · x 2 + (- 2) · x + (- 3) \u003d 0.

Verta pažymėti, kad kai koeficientai a ir (arba) B yra lygūs 1 arba -1, tada jie paprastai nėra pateikiami kvadratinės lygties įrašymui aiškiai, kuris yra susijęs su tokių įrašų savybes. Pavyzdžiui, kvadratinės lygtys Y 2 -Y + 3 \u003d 0, vyresnysis koeficientas yra vienetas, o koeficientas Y yra -1.

Nurodytos ir nesusituoktos kvadratinės lygtys

Priklausomai nuo senesnio koeficiento vertės, išskiriamos pirmiau minėtos ir neapmokamos kvadratinės lygtys. Pateikite atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Kvadratinės lygties, kurioje vyresnis koeficientas yra 1, vadinamas suteikta kvadratinė lygtis. Priešingu atveju yra kvadratinė lygtis nuogas.

Pagal šį apibrėžimą, kvadratinių lygtis x 2 -3 · x + 1 \u003d 0, x 2 -x-2/3 \u003d 0 ir kt. - Tai, kiekvienoje iš jų pirmasis koeficientas yra lygus vienai. 5 · x 2 -x-1 \u003d 0 ir pan. - negaliojančios kvadratinės lygtys, jų senesni koeficientai skiriasi nuo 1.

Iš bet kokios nesumokėtos kvadratinės lygties dalijant jį abiem dalimis ant vyresniųjų koeficiento, galite eiti į nurodytą. Šis veiksmas yra lygiavertis transformacijai, ty sumažinta kvadratinė lygtis, gauta pagal šį metodą, turi tas pačias šaknis kaip originalią nesvarbią kvadratinę lygtį, arba, taip pat ji neturi šaknų.

Analizuosime pavyzdį, nes atliekamas perėjimas nuo neatskiriamos kvadratinės lygties.

Pavyzdys.

Iš 3 · x 2 + 12 · X-7 \u003d 0 Eikite į atitinkamą pateiktą kvadratinę lygtį.

Sprendimas.

Pakanka mums padalinti abiem pirminės lygties dalių, susijusių su vyresniuoju koeficientu 3, tai skiriasi nuo nulio, todėl galime atlikti šį veiksmą. Mes turime (3 · x 2 + 12 · x-7): 3 \u003d 0: 3, kuris yra tas pats, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3-7: 3 \u003d 0, ir toliau (3: 3) · x 2 + (12: 3) · x-7: 3 \u003d 0, iš kur. Taigi mes gavome tam tikrą kvadratinę lygtį, lygiavertį šaltiniui.

Atsakymas:

Pilnos ir neišsamios kvadratinės lygtys

Apibrėžiant kvadratinį lygtį yra būklė a ≠ 0. Ši sąlyga yra būtina tam, kad būtų už a · x 2 + b · x + c \u003d 0 lygtį, kad būtų tiksliai kvadratinis, nes a \u003d 0 jis iš tikrųjų tampa linijiniu lygtimi B formos · x + c \u003d 0.

Kalbant apie koeficientus B ir C, jie gali būti nulis, ir tiek atskirai ir kartu. Tokiais atvejais kvadratinė lygtis vadinama neišsami.

Apibrėžimas.

Kvadratinių lygtys a · x 2 + b · x + c \u003d 0 nebaigtasJei bent vienas iš koeficientų B, C yra nulis.

Savo ruožtu

Apibrėžimas.

Visa kvadratinė lygtis - Tai yra lygtis, kad visi koeficientai skiriasi nuo nulio.

Tokie pavadinimai nėra atsitiktiniai. Nuo šių argumentų, jis taps aišku.

Jei koeficientas B yra nulis, kvadratinė lygtis trunka a · x 2 + 0 · x + c \u003d 0 formą, ir tai yra lygiavertė A · x 2 + c \u003d 0 lygtimi. Jei c \u003d 0, tai yra, kvadratinė lygtis turi formą a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0, tada jis gali būti perrašytas kaip · x 2 + b · x \u003d 0. Ir b \u003d 0 ir c \u003d 0, mes gauname kvadratinę lygtį a · x 2 \u003d 0. Gautos lygtys skiriasi nuo bendros kvadratinių lygčių tuo, kad jų kairiosios dalys nėra arba komponento iš kintamojo x, arba laisvo nario ar abiejų. Taigi jų vardas - neišsamios kvadratinės lygtys.

Taigi lygtys x 2 + x + 1 \u003d 0 ir -2 · x 2 -5 · x + 0,2 \u003d 0 yra pilnų kvadratinių lygčių pavyzdžiai ir x 2 \u003d 0, -2 · x 2 \u003d 0, 5 · x 2 + 3 \u003d 0, -X 2 -5 · x \u003d 0 yra neišsamūs kvadratinės lygtys.

Nebaigtų kvadratinių lygčių sprendimas

Nuo ankstesnio taško informacijos matyti, kad yra trijų tipų neišsamių kvadratinių lygčių:

• a · x 2 \u003d 0, koeficientai b \u003d 0 ir c \u003d 0 atitinka jį;
• a · x 2 + c \u003d 0, kai b \u003d 0;
• ir a · x 2 + b · x \u003d 0, kai C \u003d 0.

Mes analizuosime, kad išspręsime neišsamių kvadratinių lygčių kiekvienos iš šių rūšių.

a · x 2 \u003d 0

Pradėkime nuo neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo, kuriame B ir C koeficientai yra nuliniai, ty nuo formos A · x 2 \u003d 0 lygčių. A · x 2 \u003d 0 lygtis yra lygiavertė x 2 \u003d 0 lygtimi, kuri gaunama iš pirminio abiejų dalių padalinio iki skaičiaus, kuris skiriasi nuo nulio. Akivaizdu, kad X2 \u003d 0 lygtis yra nulis, kaip 0 2 \u003d 0. Ši lygtis neturi jokių kitų šaknų, kaip iš tiesų paaiškinta, bet kokiam skirtingam skaičiui P 2\u003e 0 numeriui, iš kur jis taip, kad P ≠ 0, lygybė P 2 \u003d 0 niekada nepasiekiama.

Taigi, neišsami kvadratinių lygtys a · x 2 \u003d 0 turi vienintelę šaknį x \u003d 0.

Pavyzdžiui, mes suteikiame neišsamos kvadratinės lygties -4 · x 2 \u003d 0 tirpalą. Tai atitinka x 2 \u003d 0 lygtį, jo vienintelė šaknis yra x \u003d 0, todėl pradinė lygtis turi vienintelę nulio šaknį.

Trumpas šiuo atveju gali būti išduotas taip:
-4 · x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a · x 2 + c \u003d 0

Dabar apsvarstykite, kaip išspręstos neišsamios kvadratinės lygtys, kurioje koeficientas B yra nulis, ir C ≠ 0, ty formos lygtys a · x 2 + c \u003d 0. Mes žinome, kad termino pervedimas iš vienos lygties dalies į kitą su priešingu ženklu, taip pat abiejų lygties dalių pasiskirstymas skiriasi nuo nulio, skaičius yra suteikta lygiavertė lygtis. Todėl galima atlikti šiuos lygiaverčius neišsamos kvadratinės lygties transformacijas a · x 2 + c \u003d 0:

• perduoti C į dešinę dalį, kuri suteikia a · x 2 \u003d -C lygtį,
• ir padalinkite abi jo dalis, mes gauname.

Gauta lygtis leidžia jums daryti išvadas apie jos šaknis. Priklausomai nuo A ir C verčių, išraiškos vertė gali būti neigiama (pvz., Jei a \u003d 1 ir c \u003d 2, tada) arba teigiamai (pavyzdžiui, jei a \u003d -2 ir c \u003d 6, tada) , tai nėra nulinis, nes pagal sąlygą C ≠ 0. Atskirai analizuojame atvejus ir.

Jei lygtis neturi šaknų. Šis teiginys išplaukia iš to, kad bet kokio skaičiaus aikštėje yra ne neigiamas skaičius. Iš to išplaukia, kad kai, bet kokiam skaičiui P, lygybė negali būti teisinga.

Jei, lygties šaknis yra kitokia. Šiuo atveju, jei prisimenate, lygties šaknis iš karto tampa nedelsiant tampa skaičius, nes. Tai lengva atspėti, kad skaičius taip pat yra lygties šaknis, tikrai. Ši lygtis neturi kitų šaknų, kurie gali būti parodyta, pavyzdžiui, pagal metodas nuo priešingai. Padarykime tai.

Reiškia vienintelės vienintelės lygties šaknų kaip x 1 ir -x 1. Tarkime, kad lygtis turi kitą šaknį x 2, skiriasi nuo nurodytų šaknų x 1 ir -x 1. Yra žinoma, kad pakeitimas į lygtį, o ne x jos šaknys atkreipia lygtį į tinkamą skaitmeninę lygybę. X1 ir -x 1 mes turime ir X2 mes turime. Skaitinių lygių savybės gali būti leidžiama atlikti dirvožemio atimimą ištikimų skaitmeninių lygių, todėl atitinkamų dalių dalių atimti ir suteikia x 1 2 -x 2 2 \u003d 0. Veiksmų su numeriais savybės leidžia perrašyti gautą lygybę kaip (x 1 -X 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Mes žinome, kad dviejų numerių darbas yra nulis, jei ir tik jei bent vienas iš jų yra nulis. Todėl nuo gautos lygybės matyti, kad x 1-x 2 \u003d 0 ir / arba x 1 + x 2 \u003d 0, kuris yra tas pats, x 2 \u003d x 1 ir / arba x 2 \u003d -x 1. Taigi mes prieštaravome, nes iš pradžių sakėme, kad x 2 lygties šaknis skiriasi nuo x 1 ir -x 1. Tai įrodyta, kad lygtis neturi kitų šaknų, išskyrus.

Apibendrinant šio elemento informaciją. Nebaigta kvadratinė lygtis A · x 2 + c \u003d 0 yra lygiavertė lygtinai

• neturi šaknų, jei
• ji turi dvi šaknis ir, jei.

Apsvarstykite neišsamių kvadratinių lygčių a · x 2 + c \u003d 0 tirpalo pavyzdžius.

Pradėkime nuo kvadratinės 9 · x 2 + 7 \u003d 0. Perkėlus laisvą narį į dešinę dalį lygties, ji imsis formą 9 · x 2 \u003d -7. Padalinant abi dalis gautos lygties dalių iki 9, ateiti. Kadangi neigiamas skaičius pasirodė dešinėje pusėje, ši lygtis neturi šaknų, todėl pradinė neišsami kvadratinių lygčių 9 · x 2 + 7 \u003d 0 neturi šaknų.

Aš nuspręsiu kitą neišsamią kvadratinę lygtį -x 2 + 9 \u003d 0. Mes gabename devynis į dešinę pusę: -x 2 \u003d -9. Dabar mes padaliame abi dalis -1, mes gauname x 2 \u003d 9. Dešinėje dalyje yra teigiamas numeris, kuriame darome išvadą, kad arba. Rašydami galutinį atsakymą: neišsami kvadratinės lygties -X 2 + 9 \u003d 0 turi dvi šaknis x \u003d 3 arba x \u003d -3.

a · x 2 + b · x \u003d 0

Lieka sprendžiant sprendimą paskutinės rūšys Neišsamos kvadratinės lygtys C \u003d 0. Neišsamos kvadratinės lygtys a · x 2 + b · x \u003d 0 leidžia išspręsti daugiklio skilimo metodas. Akivaizdu, kad galime, įsikūrusioje kairėje lygties dalyje, kuriai pakanka turėti bendrą daugiklį X skliausteliams. Tai leidžia jums pereiti nuo pradinės neišsamios kvadratinės lygties iki lygiavertės formos X · (a · x + b) \u003d 0. Ir ši lygtis yra lygi dviejų lygčių x \u003d 0 ir a · x + b \u003d 0, paskutinis yra linijinis ir turi šaknį x \u003d -B / a.

Taigi, neišsami kvadratinių lygtys a · x 2 + b · x \u003d 0 turi dvi šaknis x \u003d 0 ir x \u003d -B / a.

Siekiant užtikrinti medžiagą, analizuosime konkretaus pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas.

Mes atliekame X skliausteliams, tai suteikia lygtį. Tai atitinka dvi lygtis x \u003d 0 ir. Mes išsprendžiame gautą linijinę lygtį:, ir atliksime mišrios numerio padalinį į įprastą frakciją, mes. Todėl pradinės lygties šaknys yra x \u003d 0 ir.

Gavęs reikiamą praktiką, tokias lygtis galima trumpai įrašyti tokias lygtis:

Atsakymas:

x \u003d 0 ,.

Diskriminant, šaknų formulė kvadratinės lygties

Norėdami išspręsti kvadratinių lygtis, yra formulės šaknys. Mes rašome kvadratinės lygties šaknų formulė:, kur D \u003d B 2 -4 · a · c - vadinamasis diskriminavimo aikštės lygtis. Įrašai iš esmės reiškia, kad.

Tai naudinga žinoti, kaip buvo gauta šaknų formulė, ir kaip jis naudojamas, kai randama kvadratinių lygčių šaknys. Pasakyk man.

Kvadratinės lygties šaknų išėjimas

Leiskite mums reikia išspręsti kvadratinės lygties a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Atlikite tam tikras lygiavertes transformacijas:

• Abi šios lygties dalys galime suskirstyti numerį skiriasi nuo nulio, todėl gauname sumažintą kvadratinę lygtį.
• Dabar.. \\ T pažymėjome visą kvadratą Jo kairėje dalyje :. Po to lygtis bus formuojama.
• Šiame etape galite perkelti paskutinius du komponentus į dešinę su priešingu ženklu, turime.
• Ir mes vis dar transformuojame išraišką, kuri pasirodė esanti teisinga dalis :. \\ T

Dėl to atvykstame į lygtį, kuri yra lygiavertė originalioje kvadratinėje lygtyje A · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Mes jau išsprendėme panašius lygties forma, kai jie išmontuoja. Tai leidžia šias išvadas, susijusias su lygties šaknimis:

• jei lygtis neturi galiojančių sprendimų;
• jei lygtis turi formą, todėl, jei jo vienintelė šaknis yra matoma;
• jei, tada arba tas pats arba, tai yra, lygtis turi dvi šaknis.

Taigi, lygties šaknų buvimas ar nebuvimas, o tai reiškia, kad pradinė kvadratinė lygtinė lygtis priklauso nuo išraiškos, stovinčio dešinėje pusėje. Savo ruožtu šios išraiškos ženklas nustatomas pagal skaitiklio numerį, nes vardiklis 4 · A 2 visada yra teigiamas, ty išraiškos ženklas B 2 -4 · a · c. Ši išraiška B 2 -4 · a · c, vadinama diskriminavimo aikštės lygtis ir nustatė laišką D.. Iš čia esančių diskriminano esmė yra aiški - pagal jos vertę ir žymenis yra sudarytas, ar kvadratinė lygtis turi galiojančią šaknį, ir jei ji turi, kas yra jų skaičius - vienas ar du.

Grįžtame į lygtį, perrašome jį naudojant diskriminacinį pavadinimą :. Ir mes darome išvadas:

• jei D.<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jei d \u003d 0, tada ši lygtis turi vienintelę šaknį;
• galiausiai, jei D\u003e 0, lygtis turi dvi šaknis arba, kurias galima perrašyti arba atskleisti arba po atskleidimo ir pareikšti frakcijas į bendrą vardiklį.

Taigi mes išvedėme kvadratinės lygties šaknų formulę, jie turi formą, kurioje diskidentyvanti D yra apskaičiuojama pagal formulę D \u003d B 2 -4 · a · c.

Su jų pagalba, su teigiamą diskriminant, tiek galiojančių šaknų kvadratinių lygčių galima apskaičiuoti. Su vienoda nulinė diskriminantija, abu formulės suteikia tą pačią šakninę vertę, atitinkančią vienintelį kvadratinio lygties sprendimą. Ir su neigiamu diskriminatoriumi, bandant naudoti šaknų formulę kvadratinės lygties, mes susiduriame pašalinti kvadratinė šaknis Nuo neigiamo skaičiaus, kuris mums rodo už taikymo sritį ir mokyklos programą. Su neigiama diskriminant, kvadratinė lygtis neturi galiojančių šaknų, bet turi pora išsamiai konjugatas Šaknys, kurias galima rasti tose pačiose šaknų formulėse.

Algoritmas, skirtas išspręsti kvadratinių lygčių šaknų formules

Praktiškai, sprendžiant kvadratinių lygtis, galite iš karto naudoti šaknų formulę, su kuria galima apskaičiuoti jų vertes. Bet tai yra labiau kalbama apie sudėtingų šaknų nustatymą.

Tačiau mokslo metais Algebra paprastai nekalbame apie kompleksą, bet ir galiojančias kvadratinės lygties šaknis. Šiuo atveju patartina prieš naudojant kvadratinės lygties šaknų formules iš anksto rasti diskriminant, įsitikinkite, kad jis yra neegatyvus (kitaip galima daryti išvadą, kad lygtis neturi galiojančių šaknų), ir po to , apskaičiuoti šaknų vertes.

Pirmiau nurodyta argumentais leidžia įrašyti kvadratinių lygčių algoritmo sprendimai. Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį a · x 2 + b · x + c \u003d 0, būtina:

• pagal diskriminacinį D \u003d B 2 -4 · a · c apskaičiuoti jo vertę;
• daryti išvadą, kad kvadratinė lygtis neturi galiojančių šaknų, jei diskriminant yra neigiamas;
• apskaičiuoti vienintelę lygties šaknį pagal formulę, jei d \u003d 0;
• raskite dvi galiojančias aikštės lygties šaknis ant šaknų formulės, jei diskriminant yra teigiamas.

Čia jūs tik atkreipkite dėmesį, kad su lygiomis nuline diskriminant galite naudoti formulę, ji suteiks tą pačią reikšmę kaip.

Galite pereiti prie algoritmo pavyzdžių sprendžiant kvadratinių lygčių.

Kvadratinių lygčių sprendimų pavyzdžiai

Apsvarstykite trijų kvadratinių lygčių sprendimus, turinčius teigiamą, neigiamą ir lygią nulinę diskriminant. Supratęs su savo sprendimu, būtų galima išspręsti bet kokią kitą kvadratinę lygtį pagal analogiją. Pradėkime.

Pavyzdys.

Raskite x 2 + 2 · x-6 \u003d 0 lygties šaknis.

Sprendimas.

Šiuo atveju mes turime šiuos kvadratinių lygties koeficientus: a \u003d 1, b \u003d 2 ir c \u003d -6. Pasak algoritmo, pirmiausia turite apskaičiuoti diskriminant, nes mes pakeisime šiuos A, B ir C diskriminant formulėje, mes turime D \u003d B 2 -4 · A · C \u003d 2 2 -4 · 1 · (-6) \u003d 4 + 24 \u003d 28. Nuo 28\u003e 0, tai yra, diskriminant yra didesnis nei nulis, kvadratinė lygtis turi dvi galiojančias šaknis. Mes juos randame pagal šaknų formulę, mes gauname, čia galite supaprastinti atliktus išraiškas Šakninio ženklo daugiklis Su vėlesniu frakcijos pjaustymu:

Atsakymas:

Eikite į kitą būdingą pavyzdį.

Pavyzdys.

Nuspręskite kvadratinę lygtį -4 · x 2 + 28 · x-49 \u003d 0.

Sprendimas.

Pradėjome rasti diskriminant: D \u003d 28 2 -4 · (-4) · (-49) \u003d 784-784 \u003d 0. Todėl ši kvadratinė lygtis turi vienintelę šaknį, kad mes randame, kaip tai yra,

Atsakymas:

x \u003d 3.5.

Dar reikia apsvarstyti kvadratinių lygčių sprendimą su neigiama diskriminant.

Pavyzdys.

Nuspręskite 5 · Y 2 + 6 · Y + 2 \u003d 0.

Sprendimas.

Čia tokie kvadratinės lygties koeficientai: a \u003d 5, b \u003d 6 ir c \u003d 2. Mes pakeisime šias vertes diskriminant formulėje, mes turime D \u003d B 2 -4 · A · C \u003d 6 2 -4 · 5 · 2 \u003d 36-40 \u003d -4. Diskriminieriai yra neigiama, todėl ši kvadratinė lygtis neturi galiojančių šaknų.

Jei reikia nurodyti sudėtingus šaknis, mes naudojame gerai žinomą kvadratinės lygties šaknų formulę ir atliksime s. sudėtingi numeriai :

Atsakymas:

nėra galiojančių šaknų, sudėtingų šaknų yra tokie :. \\ T

Dar kartą, mes atkreipiame dėmesį, kad jei diskriminantija yra neigiama, tada mokykla paprastai įrašo atsakymą, kuris rodo, kad nėra galiojančių šaknų, ir nėra sudėtingų šaknų.

Formulės šaknys net antrajam koeficientams

Kvadratinės lygties šaknų formulė, kur D \u003d B 2 -4 · A · C leidžia gauti kompaktiškesnės formos formulę, leidžiančią išspręsti kvadratines lygtis su lygiu koeficientu X (arba tiesiog su veiksniu, turinčiu a 2 · N, pavyzdžiui, arba 14 · LN5 \u003d 2 · 7 · LN5). Duoti.

Tarkime, mes turime išspręsti kvadratinę lygtį a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Raskite savo šaknis, naudodami mums žinomą formulę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuoti diskriminant D \u003d (2 · N) 2 -4 · a · c \u003d 4 · n 2 -4 · a · c \u003d 4 · (n2 -a · c)ir tada naudokite šaknų formulę:

Žymi N 2 -A-C · C kaip D 1 (kartais D "). Tada pagrindinė kvadratinės lygties formulė svarstoma antrajame koeficiente 2 · n , kur D 1 \u003d N 2 -a · c.

Tai lengva matyti, kad D \u003d 4 · D 1 arba D 1 \u003d D / 4. Kitaip tariant, D 1 yra ketvirtoji diskriminano dalis. Akivaizdu, kad ženklas d 1 yra tas pats, kaip D ženklas. Tai reiškia, kad ženklas d 1 taip pat yra kvadratinio lygties šaknų buvimo ar nebuvimo rodiklis.

Taigi, išspręsti kvadratinę lygtį su antrojo koeficiento 2 · N, tai yra būtina

• Apskaičiuokite D 1 \u003d N 2 -a · C;
• Jei d 1.<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jei D 1 \u003d 0, tada apskaičiuokite vienintelę lygties šaknį formulėmis;
• Jei d 1\u003e 0 formulė rasite dvi galiojančias šaknis.

Apsvarstykite pavyzdį, naudojant šios dalies gautą šakninę formulę.

Pavyzdys.

Nuspręskite 5 · x 2 -6 · x-32 lygtį \u003d 0.

Sprendimas.

Antrasis šios lygties koeficientas gali būti sudarytas kaip 2 · (-3). Tai yra, galite perrašyti originalią kvadratinę lygtį 5 · x 2 + 2 · (-3) · x-32 \u003d 0, čia a \u003d 5, n \u003d -3 ir c \u003d -32 ir apskaičiuoti ketvirtąjį Diskantiant dalis: D 1 \u003d N 2 -A · C \u003d (- 3) 2 -5 · (-32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Kadangi jos vertė yra teigiama, lygtis turi dvi galiojančias šaknis. Raskite juos naudojant atitinkamą šaknų formulę:

Atkreipkite dėmesį, kad buvo galima naudoti įprastą kvadratinės lygties šaknų formulę, tačiau šiuo atveju turės atlikti didesnį skaičiavimo operacijos kiekį.

Atsakymas:

Supaprastinimas kvadratinių lygčių rūšių

Kartais, prieš išvykdami į kvadratinio lygties šaknų skaičiavimą pagal formules, tai netrukdys klausimas: "Ar galima supaprastinti šios lygties išvaizdą"? Sutinku, kad skaičiavimų atžvilgiu lengviau išspręsti 11 · x 2 -4 · x-6 \u003d 0,11 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0.

Paprastai kvadratinės lygties rūšių supaprastinimas pasiekiamas dauginant arba dalijant abiem dalis pagal numerį. Pavyzdžiui, ankstesnėje pastraipoje buvo galima supaprastinti 1100 · x 2 -400 · x-600 \u003d 0 lygtį, atskirdami abi dalis 100.

Toks transformavimas atliekamas su kvadratinėmis lygtimis, kurių koeficientai nėra. Tuo pačiu metu, abi dalis lygtis dėl absoliučių verčių jos koeficientų yra paprastai padalintas. Pavyzdžiui, paimkite kvadratinę 12 · x 2 -42 · x + 48 \u003d 0. Absoliučios jo koeficientų vertės: mazgas (12, 42, 48) \u003d mazgas (mazgas (12, 42), 48) \u003d mazgas (6, 48) \u003d 6. Padalinant abi pradinės kvadratinės lygties dalis iki 6, mes ateisime į lygiavertę kvadratinę 2 · x 2 -7 · x + 8 \u003d 0.

Ir abiejų kvadratinių lygčių dalių dauginimas paprastai yra daroma atsikratyti dalinių koeficientų. Šiuo atveju dauginimas atliekamas jo koeficientų vardikliams. Pavyzdžiui, jei abi kvadratinės lygties dalys padaugintos iš NOC (6, 3, 1) \u003d 6, tada jis bus paprastesnis x 2 + 4 · x-18 \u003d 0.

Apibendrinant šią dalį, pastebime, kad beveik visada atsikratykite minuso su aukštesniu kvadratinių lygties koeficientu, keičiant visų narių požymius, kurie atitinka abiejų dalių dauginimą (arba padalijimą) iki -1. Pavyzdžiui, paprastai iš kvadratinės lygties -2 · x 2 -3 · x + 7 \u003d 0, jie eina į 2 · x 2 + 3 · x-7 \u003d 0 tirpalą.

Komunikacija tarp šaknų ir kvadratinių lygčių koeficientų

Kvadrato lygties šaknų formulė išreiškia lygties šaknis per savo koeficientus. Pašalinimas nuo šaknų formulės, galite gauti kitas priklausomybes tarp šaknų ir koeficientų.

Garsiausios ir taikomos formulės iš Vieta Peržiūrėti teorema ir yra labiausiai gerai. Visų pirma, sumažintos kvadratinės lygties, šaknų kiekis yra lygus antrajam koeficientui su priešingu ženklu, o šaknų produktas yra laisvas narys. Pavyzdžiui, pagal kvadratinių 3 · x 2 -7 · x + 22 \u003d 0 rūšių, galima nedelsiant pasakyti, kad jos šaknų suma yra 7/3, o šaknų produktas yra 22 / 3.

Naudojant jau įrašytus formules, galima gauti keletą kitų jungčių tarp šaknų ir kvadratinės lygties koeficientų. Pavyzdžiui, galite išreikšti kvadratinių lygties šaknų kvadratų sumą per savo koeficientus :.

Bibliografija.

• Algebra: tyrimai. Už 8 cl. Bendrasis išsilavinimas. Institucijos / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkovas, S. B. Suvorov]; Ed. S. A. A. Telikovsky. - 16-asis ED. - m.: Apšvietimas, 2008. - 271 p. : IL. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8-oji klasė. 2 TSP. 1. Pamoka generalinių švietimo įstaigų studentams / A. Mordkovich. - 11-asis Ed., Ched. - m.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: Il. ISBN 978-5-346-01155-2.