Ši tema iš pradžių gali atrodyti sudėtinga dėl ne paprasčiausios formulės rinkinio. Ne tik tai, kad kvadratinės lygtys patys turi ilgus įrašus, taip pat šaknys yra per diskriminant. Iš viso yra trys naujos formulės. Nėra labai lengva prisiminti. Tai valdo tik po dažno tokių lygčių sprendimo. Tada visos formulės prisimins save.

Bendras kvadratinės lygties vaizdas

Jis siūlo savo aiškų įrašą, kai didžiausias laipsnis yra įrašytas pirmiausia, ir toliau - mažėjanti. Dažnai yra situacijų, kai komponentai kainuoja pelkę. Tada geriau perrašyti lygtį mažėjančia tvarka iš kintamojo.

Mes pristatome žymėjimą. Jie pateikiami toliau pateiktoje lentelėje.

Jei vartojate šiuos pavadinimus, visos kvadratinės lygtys sumažinamos iki kito įrašo.

Be to, koeficientas a ≠ 0. Tegul ši formulė bus žymima numeriu.

Kai lygtis yra nurodyta, tai nėra aišku, kiek šaknys bus atsako. Kadangi viena iš trijų variantų visada įmanoma:

• sprendimas bus dvi šaknys;
• atsakymas bus vienas numeris;
• lygčių šaknys nebus visiškai.

Ir nors sprendimas nebuvo pareikštas iki galo, sunku suprasti, kuri iš galimybių sumažės tam tikru atveju.

Kvadratinių lygčių įrašų tipai

Užduotyse gali būti skirtingi įrašai. Ne visada jie atrodys bendra formulė. \\ T Kvadratinė lygtis. Kartais kai kurioms terminams nepakaks. Kas buvo parašyta pirmiau, yra visa lygtis. Jei jis yra pašalintas į jį antrą ar trečiąjį kadenciją, tada kažkas bus gauti. Šie įrašai taip pat vadinami kvadratinėmis lygtimis, tik neišsami.

Ir tik terminai, kuriais koeficientai "B" ir "C" gali išnykti. Numeris "a" bet kokiomis aplinkybėmis negali būti nulio. Nes šiuo atveju formulė virsta linijine lygtimi. Neišsamių lygčių rūšių formulės bus tokios:

Taigi, tik du rūšis, išskyrus išsamią, taip pat yra neišsamių kvadratinių lygčių. Tegul pirmoji formulė yra antra, ir antrasis - trys.

Diskriminant ir šaknų skaičiaus priklausomybė nuo jo vertės

Šis numeris jums reikia žinoti, kad apskaičiuotumėte lygties šaknis. Jis visada gali būti laikomas, nepriklausomai nuo kvadratinės lygties formulės. Siekiant apskaičiuoti diskriminant, reikia pasinaudoti žemiau įrašytu lygybe, kuri turės keturis.

Po pakeitimo šioje koeficientų verčių formulėje, galite gauti numerius su skirtingais ženklais. Jei atsakymas yra teigiamas, lygties atsakymas bus dvi skirtingos šaknys. Neigiamas kvadratinės lygties šaknų skaičius nebus. Atsižvelgiant į savo lygybės atveju, nulis atsakas bus vienas.

Kaip išspręsta išspręsta visa peržiūros lygtis?

Tiesą sakant, šio klausimo svarstymas jau prasidėjo. Kadangi pirmiausia reikia rasti diskriminant. Nustačius, kad yra šaknų iš kvadratinės lygties, ir jų skaičius yra žinomas, jums reikia naudoti formulių kintamuosius. Jei šaknys yra du, tada jums reikia taikyti tokią formulę.

Kadangi tai kainuoja "¡" ženklu, tada bus dvi vertybės. Išraiška pagal kvadratinės šaknies ženklą yra diskriminant. Todėl formulė gali būti perrašyta kitaip.

Formulės numeris penki. Iš to paties įrašo yra aišku, kad jei diskriminant yra nulis, abu šaknys bus tos pačios vertybės.

Jei kvadratinių lygčių sprendimas dar nėra parengtas, jis yra geresnis prieš taikant diskriminant ir kintamą formules, parašykite visų koeficientų vertes. Vėliau šis momentas nesukels sunkumų. Tačiau pradžioje yra painiavos.

Kaip yra kvadratinių lygčių neišsamių rūšių išspręsti?

Viskas yra daug lengviau čia. Nereikia imtis papildomų formulių. Ir jums nereikės tų, kurie jau buvo užregistruoti diskriminant ir nežinoma.

Pirma, apsvarstykite neišsamią lygtį dviem. Šioje lygyboje ji turėtų padaryti nežinomą dydį už laikiklio ir išspręskite linijinę lygtį, kuri išliks skliausteliuose. Atsakymas bus dvi šaknys. Pirmasis yra nebūtinai nulis, nes yra daugiklis, susidedantis iš pati kintamojo. Antrasis bus sprendžiant linijinę lygtį.

Neišsamybė trims lygiavertė išspręsta per numerį iš kairės dalies lygybės į dešinę. Tada jums reikia padalinti koeficientą, nukreiptą į nežinomą. Jis bus paliktas tik išgauti kvadratinę šaknį ir nepamirškite įrašyti jį du kartus su priešingais ženklais.

Be to, kai kurie veiksmai yra įrašomi, padeda išmokti išspręsti visų rūšių lygybę, kurios konvertuojamos į kvadratinių lygtis. Jie prisidės prie to, kad studentas galės išvengti netinkamų klaidų. Šie trūkumai yra blogų įvertinimų priežastis, kai studijuojanti plačią temos "kvadratinę lygtis (8 klasė)". Vėliau šie veiksmai nebus reikia nuolat atlikti. Nes bus pastovus įgūdis.

• Pirmiausia turite įrašyti lygtį standartine forma. Tai yra, pirmiausia terminas su didžiausiu kintamojo laipsniu ir tada - be masto ir paskutinio - tik skaičius.

• Jei koeficientas "A" pasirodo minusas, tada jis gali apsunkinti pradedantiesiems darbą studijuoti kvadratines lygtis. Geriau atsikratyti. Šiuo tikslu visa lygybė turi būti padauginta iš "-1". Tai reiškia, kad visi komponentai pakeis ženklą į priešingą.

• Taip pat rekomenduojama atsikratyti frakcijų. Tiesiog padauginkite lygtį į atitinkamą daugiklį, kad denominatoriai sumažėtų.

Pavyzdžiai. \\ T

Reikia šių kvadratinių lygčių:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2).

Pirmoji lygtis: x 2 - 7x \u003d 0. Jis yra neišsamus, todėl jis išspręstas, kaip aprašyta dviejų formulės numeris.

Po to, kai buvo laikiklis, pasirodo: X (x - 7) \u003d 0.

Pirmasis šaknis užima vertę: x 1 \u003d 0. Antrasis bus iš linijinės lygties: X - 7 \u003d 0. Lengva pastebėti, kad x 2 \u003d 7.

Antroji lygtis: 5x 2 + 30 \u003d 0. Dar kartą neišsami. Jis išsprendžia tik kaip aprašyta trečiojoje formulėje.

Perkėlus 30 į dešinę lygybės pusę: 5x 2 \u003d 30. Dabar jums reikia padaryti padalijimą 5. Pasirodo: x 2 \u003d 6. Atsakymai bus numeriai: x 1 \u003d √6, x 2 \u003d - √6.

Trečioji lygtis: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Toliau kvadratinių lygčių sprendimas prasidės jų perrašymas į standartinį tipą: - X 2 - 2x + 15 \u003d 0. Dabar atėjo laikas naudoti antrąjį naudingi patarimai Ir padauginkite viską, kas minus vieną. Jis pasirodo x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Pagal ketvirtąją formulę reikia apskaičiuoti diskriminant: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Tai teigiamas skaičius. Iš to, kas pasakyta pirmiau, paaiškėja, kad lygtis turi dvi šaknis. Jie turi būti apskaičiuojami išilgai penktos formulės. Pasirodo, kad x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Tada x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Ketvirta lygtis x 2 + 8 + 3x \u003d 0 konvertuojama į tokias: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Jo diskriminantas yra lygus šiai vertei: -23. Kadangi tai yra neigiamas skaičius, atsakymas į šią užduotį bus toks įrašas: "Nėra šaknys".

Penktoji lygtis 12x + x 2 + 36 \u003d 0 turėtų būti perrašyta taip: x 2 + 12x + 36 \u003d 0. Įjungus diskriminacinį formulę, gaunamas nulio skaičius. Tai reiškia, kad ji turės vieną šaknį, būtent: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Šeštoji lygtis (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) reikalauja transformacijų, kurios turi būti suteiktos tokie komponentai, prieš nutraukdami laikiklį. Yra tokia išraiška vietoje: x 2 + 2x + 1. Po lygybės, šis įrašas bus rodomas: x 2 + 3x + 2. Po tokių sąlygų skaičiuojamos, lygtis bus formą: x 2 - x \u003d 0 . Ji tapo neišsami. Tai jau buvo šiek tiek didesnė. Šio šaknys bus skaičiai 0 ir 1.

"Tai yra pirmojo laipsnio lygtys. Šioje pamokoje mes analizuosime kas vadinama kvadratine lygtimi Ir kaip jį išspręsti.

Kas vadinama kvadratine lygtimi

SVARBU!

Lygybės laipsnis lemia didžiausiu mastu, kuriame yra nežinomas.

Jei maksimalus laipsnis, kuriame nežinoma yra "2", tai reiškia, kad esate kvadratinė lygtis.

Kvadratinių lygčių pavyzdžiai

• 5x 2 - 14x + 17 \u003d 0
• -X 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25x \u003d 0
• x 2 - 8 \u003d 0

SVARBU! Bendras vaizdas į kvadratinę lygtį atrodo taip:

X 2 + b x + c \u003d 0

"A", "B" ir "C" - nurodyti numeriai.

• "A" yra pirmasis ar vyresnysis koeficientas;
• "B" - antrasis koeficientas;
• "C" yra laisvas narys.

Norėdami rasti "A", "B" ir "C", turite palyginti savo lygtį su bendru požiūriu į kvadratinę lygtį "AX 2 + BX + C \u003d 0".

Rūpinkime nustatyti koeficientus "A", "B" ir "C" kvadratines lygtis.

5x 2 - 14x + 17 \u003d 0 -7x 2 - 13x + 8 \u003d 0 -X 2 + x +

Lygtis. \\ T	Faktoriai
a \u003d 5. b \u003d -14. c \u003d 17.
a \u003d -7. b \u003d -13. c \u003d 8.

1

3

= 0

• a \u003d -1.
• b \u003d 1.
• c \u003d.

  1

  3

x 2 + 0,25x \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0,25.
• c \u003d 0.

x 2 - 8 \u003d 0

• a \u003d 1.
• b \u003d 0.
• c \u003d -8.

Kaip išspręsti kvadratinių lygtis

Skirtingai nuo linijinių lygčių sprendžiant kvadratinių lygčių, ypatingą Šaknų paieškos formulė.

Prisiminti!

Norėdami išspręsti kvadratinę lygtį, kurią reikia:

• sukurkite kvadratinę lygtį į bendro tipo "AX 2 + BX + C \u003d 0". Tai yra tik "0" turėtų likti dešinėje dalyje;
• naudokite šaknų formulę:

Analizuosime pavyzdį, kaip taikyti formulę ieškant aikštės lygties šaknų. Leiskite kvadratinei lygtimi.

X 2 - 3x - 4 \u003d 0

"X 2 - 3x - 4 \u003d 0" lygtis jau skiriama visai "AX 2 + BX + C \u003d 0" išvaizdai "ir nereikalauja papildomų supaprastinimų. Norėdami jį išspręsti, turime pakankamai kreiptis kvadratinės lygties šaknų paieškos formulė.

Mes apibrėžiame koeficientus "A", "B" ir "C" už šią lygtį.

x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d

Su juo yra išspręsta bet kokia kvadratinė lygtis.

Formulėje "x 1; 2 \u003d" dažnai pakeičia vadovaujamą išraišką
"B 2 - 4AC" ant raidės "D" ir yra vadinamas diskriminavimu. Diskriminacijos koncepcija išsamiau nagrinėjama pamokoje "Kas yra diskriminant".

Apsvarstykite dar vieną kvadratinės lygties pavyzdį.

x 2 + 9 + x \u003d 7x

Šioje formoje nustatyti koeficientai "A", "B" ir "C" yra gana sudėtinga. Pirmiausia suteikime lygtį su bendra tipo "AX 2 + BX + C \u003d 0".

X 2 + 9 + x \u003d 7x
x 2 + 9 + x - 7x \u003d 0
x 2 + 9 - 6x \u003d 0
x 2 - 6x + 9 \u003d 0

Dabar galite naudoti šaknų formulę.

X 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x 1; 2 \u003d
x \u003d.

6

2

x \u003d 3.
Atsakymas: x \u003d 3

Yra atvejų, kai kvadratinių lygčių nėra. Ši situacija atsiranda, kai yra neigiamas skaičius po šaknimis.

Kvadratinės lygtys yra tiriamos 8 klasėje, todėl čia nėra nieko sunku. Gebėjimas juos išspręsti yra absoliučiai būtina.

Kvadratinė lygtis - Tai yra formos AX 2 + BX + C \u003d 0 lygtis, kai koeficientai A, B ir C yra savavališki skaičiai ir a ≠ 0.

Prieš mokydamiesi konkrečių sprendimų metodų, atkreipiame dėmesį, kad visos kvadratinės lygtys gali būti suskirstytos į tris klases:

1. Neturi šaknų;
2. Turėti tiksliai vieną šaknį;
3. Turėti dvi skirtingas šaknis.

Tai yra svarbus skirtumas. \\ T Kvadratinės lygtys nuo linijinės, kur šaknis visada egzistuoja ir yra unikalus. Kaip nustatyti, kiek šaknų turi lygtį? Dėl to yra nuostabus dalykas - diskriminant.

Diskriminant

Leiskite kvadratinės lygties AX 2 + BX + C \u003d 0. Tada diskriminant yra tik numeris D \u003d B 2 - 4AC.

Ši formulė turi būti žinoma pagal širdį. Kur ji trunka - dabar nesvarbu. Kita Svarbu: diskriminuojantis ženklas gali būti nustatomas, kiek šaknų turi kvadratinę lygtį. Būtent:

1. Jei D.< 0, корней нет;
2. Jei d \u003d 0, yra tiksliai vienas šaknis;
3. Jei d\u003e 0, bus dvi šaknys.

Atkreipkite dėmesį: diskriminant rodo šaknų skaičių, o ne visai jų ženkluose, kaip dėl kokių nors priežasčių, daugelis apsvarsto. Pažvelkite į pavyzdžius - ir jūs suprasite viską:

Užduotis. Kiek šaknų yra kvadratinių lygčių:

1. x 2 - 8x + 12 \u003d 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;
3. x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Mes atstumome pirmosios lygties koeficientus ir rasti diskriminant:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Taigi, diskriminant yra teigiamas, todėl lygtis turi dvi skirtingas šaknis. Panašiai išardyti antrąją lygtį:
a \u003d 5; B \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminieriai yra neigiama, nėra šaknų. Paskutinė lygtis išlieka:
a \u003d 1; B \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskriminant yra nulis - šaknis bus vienas.

Atkreipkite dėmesį, kad kiekvienai lygtinai koeficientai buvo įvykdyti. Taip, tai ilgas laikas, taip, tai yra nuobodus - bet jūs nesupainiate koeficientų ir neleiskite kvailiems klaidų. Pasirinkite save: greitį ar kokybę.

Beje, jei jūs "užpildysite ranką", po kurio laiko nebereikia parašyti visų koeficientų. Tokios operacijos, kurias bus atliktas jūsų galva. Dauguma žmonių pradeda tai padaryti kažkur po 50-70 išsprestų lygčių - apskritai, ne tiek daug.

Šaknų aikštės lygtis

Dabar mes iš tikrųjų kreipiamės į sprendimą. Jei diskriminant D\u003e 0, šaknys galima rasti formulėse:

Pagrindinė kvadratinių lygčių šaknų formulė

Kai D \u003d 0, galite naudoti bet kurią iš šių formulių - tai bus tas pats numeris, kuris bus atsakymas. Galiausiai, jei d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 \u003d 0;
2. 15 - 2x - x 2 \u003d 0;
3. x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Pirmoji lygtis:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ lygtis turi dvi šaknis. Surask juos:

Antroji lygtis:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; B \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ lygtis vėl turi dvi šaknis. Mes juos randame

[pradžia (sulygiu) ir ((x) _ (1)) \u003d \\ t frac (2+ (2+) (64)) (2 cdot į kairę (-1 į dešinę)) \u003d - 5; ir (x) _ (2)) \u003d frac (2- \\ t (64)) (2 cdot į kairę (-1 į dešinę)) \u003d 3. Pabaiga (lygi) \\ t

Galiausiai trečioji lygtis:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ lygtis turi vieną šaknį. Galite naudoti bet kokią formulę. Pavyzdžiui, pirmasis:

Kaip matyti iš pavyzdžių, viskas yra labai paprasta. Jei žinote formulę ir galėsite apsvarstyti, nebus jokių problemų. Dažniausiai klaidos atsiranda pakeitimo metu neigiamų koeficientų formulėje. Čia vėl, pirmiau aprašytas priėmimas padės: pažvelgti į formulę tiesiogine prasme, dažykite kiekvieną žingsnį - ir labai greitai atsikratyti klaidų.

Nebaigtos kvadratinės lygtys

Taip atsitinka, kad kvadratinė lygtis yra šiek tiek skiriasi nuo apibrėžime. Pavyzdžiui:

1. x 2 + 9x \u003d 0;
2. x 2 - 16 \u003d 0.

Tai lengva pamatyti, kad šiose lygtys nėra jokių terminų. Tokios kvadratinės lygtys yra net lengviau nei standartai: jie net nereikia atsižvelgti į diskriminant. Taigi, pristatome naują koncepciją:

AX 2 + BX + C \u003d 0 lygtis vadinama neišsamia kvadratine lygtimi, jei b \u003d 0 arba c \u003d 0, i.e. Koeficientas su kintamu x arba laisvas elementas yra nulis.

Žinoma, visiškai sudėtingas atvejis yra įmanoma, kai abu šie koeficientai yra nulis: b \u003d c \u003d 0. Šiuo atveju lygtis užima formą AX 2 \u003d 0. Akivaizdu, kad tokia lygtis turi vieną šaknį: x \u003d 0 .

Apsvarstykite likusius atvejus. Leiskite b \u003d 0 būti 0, tada mes gauname neišsamią lygtinę formos kirvį 2 + c \u003d 0. Mes šiek tiek konvertuojame:

Nuo aritmetika kvadratinė šaknis Yra tik ne neigiamas skaičius, pastaroji lygybė yra prasminga tik (-C / a) ≥ 0. Išvada:

1. Jei neužbaigta kvadratinių lygčių formos AX 2 + C \u003d 0, nelygybė (-C / A) atliekama ≥ 0, bus dvi šaknys. Formulė pateikiama pirmiau;
2. Jei (-C / a)< 0, корней нет.

Kaip matote, diskriminant nereikėjo - neišsamių kvadratinių lygčių nėra sudėtingų kompiuterių. Tiesą sakant, net nebūtina prisiminti nelygybę (-C / a) ≥ 0. Pakanka išreikšti x 2 vertę ir pamatyti, kas stovi kitoje lygybės ženklo pusėje. Jei yra teigiamas skaičius - šaknys bus du. Jei neigiama - šaknys nebus.

Dabar mes suprasime su formos AX 2 + BX \u003d 0 lygtimis, kuriuose laisvas elementas yra nulis. Viskas yra paprasta čia: šaknys visada bus du. Pakanka suskaidyti polinomo į daugiklius:

"Subliks" daugiklis

Darbas yra nulis, kai bent vienas iš daugiklio yra nulis. Iš čia yra šaknys. Apibendrinant, mes analizuosime keletą tokių lygčių:

Užduotis. Kvadratinės kvadratinės lygtys:

1. x 2 - 7x \u003d 0;
2. 5x 2 + 30 \u003d 0;
3. 4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Nėra šaknų, nes Kvadratas negali būti lygus neigiamam skaičiui.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d -1,5.

Pirmasis lygis

Kvadratinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Kalbant apie "kvadratinę lygtį", raktas yra žodis "aikštė". Tai reiškia, kad kintamasis turi būti lygtyje (tame pačiame IX) aikštėje, ir trečiame (ir didesniame) laipsnyje neturėtų būti jokios IC.

Daugelio lygčių tirpalas sumažinamas iki tiksliai kvadratinių lygčių.

Sužinokite, kaip nustatyti, kad turime kvadratinę lygtį, o ne kitą.

1 pavyzdys.

Kiekvienas danomininko lygties narys ir dominarų bus atsikratyti

Mes perkeliame viską į kairę ir įdėkite narius mažėjančia ICA laipsnių tvarka

Dabar galite pasitikėti, kad ši lygtis yra kvadratinė!

2 pavyzdys.

Vidaus kairėje ir dešinėje pusėje:

Ši lygtis, nors ji buvo iš pradžių, nėra kvadratinė!

3 pavyzdys.

Doming visi:

Baugus? Ketvirtas ir antrasis laipsnis ... Tačiau, jei mes pakeisime, pamatysime, kad turime paprastą kvadratinę lygtį:

4 pavyzdys.

Atrodo, kad tai yra, bet pažvelgsime atidžiai. Mes perkeliame viską į kairę:

Žiūrėkite, sumažėjo - ir dabar tai yra paprasta linijinė lygtis!

Dabar pabandykite nustatyti, kuris iš šių lygčių yra kvadratinių ir kurių ne:

Pavyzdžiai:

Atsakymai:

1. aikštė;
2. aikštė;
3. ne aikštė;
4. ne aikštė;
5. ne aikštė;
6. aikštė;
7. ne aikštė;
8. aikštė.

Matematika Balandiškai padalinkite visas kvadratines lygtis ant tipo:

• Visos kvadratinės lygtys - lygtys, kuriose koeficientai ir, taip pat laisvas narys nėra lygūs nuliui (kaip ir pavyzdyje). Be to, tarp pilnų kvadratinių lygčių skiria pateikta - Tai yra lygtys, kai koeficientas (lygtis iš pavyzdžio yra ne tik baigtas, bet ir duotas!)

• Nebaigtos kvadratinės lygtys - lygtys, kuriose koeficientas ir laisvas narys yra nulis:

  Nepamirškite, nes jiems trūksta tam tikro elemento. Tačiau lygtis visada turėtų būti kvadratiniame !!! Priešingu atveju jis nebus kvadratinis, bet kai kurios kitos lygties.

Kodėl sugalvojote tokį padalijimą? Atrodytų, kad aikštėje yra X ir gerai. Toks padalijimas yra susijęs su sprendimų metodais. Apsvarstykite kiekvieną iš jų išsamiau.

Nebaigtų kvadratinių lygčių sprendimas

Norėdami pradėti, mes sustosime išspręsti neišsamias kvadratines lygtis - jie yra daug paprastesni!

Nebaigtos kvadratinės lygtys yra tipai:

1. Šioje lygtyje koeficientas yra lygus.
2. Šioje lygtyje laisvas narys yra lygus.
3. Šioje lygtyje, koeficientas ir laisvas narys yra lygūs.

1. Ir. Kaip žinome, kaip išgauti kvadratinę šaknį, išreiškiame šią lygtį

Sąvoka gali būti neigiama ir teigiama. Į aikštę pastatytas skaičius negali būti neigiamas, nes su dviem neigiamais arba dviem teigiamais skaičiais - rezultatas visada bus teigiamas skaičius, kad jei lygtis neturi sprendimų.

Ir jei gausite dvi šaknis. Šios formulės nereikia įsiminti. Svarbiausia, ką turėtumėte žinoti ir visada prisiminti, kad jis gali būti ne mažesnis.

Pabandykime išspręsti keletą pavyzdžių.

5 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Dabar lieka pašalinti iš kairės ir dešinės pusės. Galų gale, ar prisimenate, kaip išgauti šaknis?

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu !!!

6 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Atsakymas:

7 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Oi! Numerio kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia lygtį

nėra šaknų!

Dėl tokių lygčių, kuriose nėra šaknų, matematika atvedė su specialia piktograma - (tuščia rinkinys). Ir atsakymas gali būti parašytas kaip:

Atsakymas:

Taigi ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis. Čia nėra jokių apribojimų, nes nenaudojome šaknų.
8 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Aš apibendrinsiu skliaustelius:

Šiuo būdu,

Ši lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Lengviausias neišsamių kvadratinių lygčių tipas (nors jie visi yra paprasti, tiesa?). Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Čia mes darysime be pavyzdžių.

Visų kvadratinių lygčių sprendimas

Mes jums priminti, kad visa kvadratinė lygtis yra lygties lygtis, kur

Visų kvadratinių lygčių sprendimas yra šiek tiek sudėtingesnis (labai šiek tiek) nei pirmiau.

Prisiminti, bet kokia kvadratinė lygtis gali būti išspręsta diskriminuojant! Net neišsami.

Likusieji būdai padės tai padaryti greičiau, bet jei turite problemų su kvadratinėmis lygtimis, pradėti, sprendimas vadinamas diskriminuojančiu pagalba.

1. Kvadratinių lygčių sprendimas su diskriminant.

Kvadratinių lygčių sprendimas yra labai paprastas, pagrindinis dalykas yra prisiminti veiksmų seką ir pora formules.

Jei lygtis turi ypatingą dėmesį į žingsnį. Diskriminant () nurodo mus apie lygties šaknų skaičių.

• Jei, formulė yra sumažinta iki. Taigi lygtis turės visą šaknį.
• Jei, mes negalėsime išgauti šaknų nuo diskriminano. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Grįžkime prie mūsų lygčių ir apsvarstykite keletą pavyzdžių.

9 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Taigi lygtis turi dvi šaknis.

3 žingsnis.

Atsakymas:

10 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Taigi lygtis turi vieną šaknį.

Atsakymas:

11 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Lygtis pateikiama standartine forma, taigi 1 žingsnis Mes praleidžiame.

2 žingsnis.

Mes randame diskriminant:

Jis negalės išgauti šaknų nuo diskriminant. Lygties šaknys nėra.

Dabar mes žinome, kaip rašyti tokius atsakymus teisingai.

Atsakymas:Nėra šaknų

2. Sprendimas kvadratinių lygčių naudojant Vieta teorem.

Jei prisimenate, tai yra tokia lygčių, kurios yra vadinamos pateikiamos (kai koeficientas yra lygus):

Tokios lygtys yra labai lengva išspręsti naudojant Vieta teoremą:

Šaknų suma nurodyta Kvadratinė lygtis yra lygi, o šaknų produktas yra lygus.

12 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Ši lygtis tinka sprendžiant Vieta teoremą, nes .

I lygties šaknų suma yra lygi, t. Y. Mes gauname pirmąją lygtį:

Ir darbas yra:

Mes taip pat nuspręsime apie sistemą:

• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Atsakymas: ; .

13 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Atsakymas:

14 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį

Pateikiama lygtis, todėl:

Atsakymas:

Kvadratinės lygtys. Vidutinis lygis

Kas yra kvadratinė lygtis?

Kitaip tariant, kvadratinė lygtis yra rūšies lygtis, kurioje nežinoma yra kai kurie numeriai, ir.

Numeris vadinamas vyresniuoju arba pirmasis koeficientas Kvadratinė lygtis - antrasis koeficientas, bet - nEMOKAMAS narys.

Kodėl? Nes jei lygtis nedelsiant tampa linijine, nes išnyksta.

Tuo pačiu metu ir gali būti nulis. Šioje kėdėje lygtis vadinama neišsami. Jei visi komponentai yra vietoje, tai yra, lygtis baigta.

Įvairių rūšių kvadratinių lygčių sprendimai

Neišsamių kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

Norėdami pradėti, mes analizuosime neišsamių kvadratinių lygčių sprendimų metodus - jie yra lengviau.

Galite pasirinkti tokių lygčių tipą:

I. Šioje lygtyje, koeficientas ir laisvas narys yra lygūs.

Ii. Šioje lygtyje koeficientas yra lygus.

III. Šioje lygtyje laisvas narys yra lygus.

Dabar apsvarstykite kiekvieno iš šių potipių sprendimą.

Akivaizdu, kad ši lygtis visada turi tik vieną šaknį:

Į aikštę pastatytas skaičius negali būti neigiamas, nes su dviem neigiamais ar dviem teigiamais skaičiais, rezultatas visada bus teigiamas skaičius. Todėl:

jei lygtis neturi sprendimų;

jei išmokome dvi šaknis

Šios formulės nereikia įsiminti. Svarbiausia prisiminti, kad jis gali būti ne mažesnis.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Niekada nepamirškite apie šaknis su neigiamu ženklu!

Numerio kvadratas negali būti neigiamas, o tai reiškia lygtį

nėra šaknų.

Trumpai įrašyti, kad užduotis neturi sprendimų, naudokite tuščią rinkinio piktogramą.

Atsakymas:

Taigi, ši lygtis turi dvi šaknis: ir.

Atsakymas:

Apibendrinsiu skliaustų gamyklą:

Produktas yra nulis, jei bent vienas iš daugiklio yra nulis. Tai reiškia, kad lygtis turi sprendimą, kai:

Taigi, ši kvadratinė lygtis turi dvi šaknis: ir.

Pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Skleiskite kairę gamyklos lygtį ir suraskite šaknis:

Atsakymas:

Visų kvadratinių lygčių sprendimo būdai:

1. Diskriminant

Skirtingų lygčių sprendimas tokiu būdu paprasta, svarbiausia yra prisiminti veiksmų seką ir pora formules. Atminkite, bet kokia kvadratinė lygtis gali būti išspręsta su diskriminant! Net neišsami.

Ar pastebėjote šaknų šaknį šaknų formulėje? Tačiau diskriminant gali būti neigiama. Ką daryti? Turime atkreipti ypatingą dėmesį į 2 žingsnį. Diskriminieriai nurodo mus dėl lygties šaknų skaičiaus.

• Jei lygtis turi šaknį:
• Jei lygtis turi tą pačią šaknį ir iš tiesų, viena šaknis:

  Tokios šaknys yra vadinamos dvigubai.

• Jei diskriminano šaknis nepašalinama. Tai rodo, kad lygtis neturi šaknų.

Kodėl galima skirtingą šaknų skaičių? Pasukite į geometrinę kvadratinio lygties prasmę. Funkcijos grafikas yra parabola:

Tam tikru atveju, kuris yra kvadratinė lygtis. Tai reiškia, kad kvadratinės lygties šaknys yra sankirtos taškai su abscisos ašimi (ašimi). Parabola negali kirsti ašies arba kirsti jį į vieną (kai parabolos viršuje yra ant ašies) arba du taškus.

Be to, koeficientas yra atsakingas už parabolos šakų kryptį. Jei parabolos šakos yra nukreiptos į viršų, ir jei jis yra žemyn.

Pavyzdžiai:

Sprendimai:

Atsakymas:

Atsakymas:.

Atsakymas:

Taigi, nėra sprendimų.

Atsakymas:.

2. Vieta teorema

Vieta teorema yra labai paprasta naudoti: jūs tiesiog reikia pasiimti tokį skaičių skaičių, kurio produktas yra lygus laisvam nariui lygties, ir suma yra antrasis koeficientas, priimtas su priešingu ženklu.

Svarbu prisiminti, kad Vietos teorema gali būti naudojama tik sumažintos kvadratinės lygtys ().

Apsvarstykite keletą pavyzdžių:

1 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Ši lygtis tinka sprendžiant Vieta teoremą, nes . Likusios koeficientai:; .

Iš lygties šaknų suma yra:

Ir darbas yra:

Pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra lygus ir patikrinkite, ar jų suma yra lygi:

• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi;
• ir. Suma yra lygi.

ir yra sistemos sprendimas:

Taigi, mūsų lygties šaknys.

Atsakymas:; .

2 pavyzdys:

Sprendimas:

Atrinksime tokias darbo poras, kurios pateiktos darbe, ir patikrinkite, ar jų suma yra lygi:

ir: jie davė.

ir: jie davė. Norėdami gauti pakankamai, kad pakeistumėte tariamų šaknų požymius: ir, nes darbas.

Atsakymas:

3 pavyzdys:

Sprendimas:

Laisvas lygties narys yra neigiamas, o tai reiškia šaknų produktą - neigiamą skaičių. Tai įmanoma tik tada, kai viena iš šaknų yra neigiama, o kitas yra teigiamas. Todėl šaknų kiekis yra lygus jų modulių skirtumai.

Atrinksime tokias darbo vietų poras, kurios yra pateiktos darbe, o jų skirtumas yra lygus:

ir: jų skirtumas yra lygus - netinka;

ir: - netinka;

ir: - netinka;

ir: - Tinka. Jis lieka tik prisiminti, kad viena iš šaknų yra neigiama. Kadangi jų suma turėtų būti lygi, tada neigiamas turėtų būti mažesnis šaknų modulis :. Patikrinti:

Atsakymas:

4 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikiama lygtis, todėl:

Laisvas narys yra neigiamas, todėl šaknų produktas yra neigiamas. Ir tai įmanoma tik tada, kai viena šaknis lygtis yra neigiama, o kitas yra teigiamas.

Mes pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra lygus, o tada mes apibrėžiame, kurios šaknys turėtų turėti neigiamą ženklą:

Akivaizdu, kad tik šaknys yra tinkamos pirmai sąlygai ir:

Atsakymas:

5 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį.

Sprendimas:

Pateikiama lygtis, todėl:

Šaknų kiekis yra neigiamas, o tai reiškia, kad bent viena iš šaknų yra neigiama. Bet kadangi jų darbas yra teigiamas, tai reiškia abu šaknis su minuso ženklu.

Mes pasirinksime tokias numerių poras, kurių produktas yra:

Akivaizdu, kad šaknys yra numeriai ir.

Atsakymas:

Sutinku, tai yra labai patogu - išradinėti šaknis žodžiu, o ne apsvarstyti šią bjaurus diskriminant. Pabandykite naudoti Vietos teoriją kiek įmanoma.

Tačiau Vieta teorema reikalinga siekiant palengvinti ir paspartinti šaknų išvadą. Norėdami padėti jums jį naudoti, turite imtis veiksmų automatizmui. Ir už tai, šmeižto daugiau kulnų pavyzdžių. Bet ne skalavimas: diskriminant negalima naudoti! Tik Vietos teorema:

Užduočių sprendimai savarankiškam darbui:

Užduotis 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vieta teorema:

Kaip įprasta, mes pradedame darbo pasirinkimą:

Netelpa, nes suma;

: Suma - tai, ko jums reikia.

Atsakymas:; .

2 užduotis.

Ir vėl, mūsų mėgstamiausia Vieta teorema: sumoje turėtų pasirodyti, o darbas yra lygus.

Bet kadangi jis neturėtų būti, bet pakeiskite šaknų požymius: ir (sumoje).

Atsakymas:; .

3 užduotis.

Hmm ... ir kur kas?

Būtina perkelti visas sąlygas vienoje dalyje:

Šaknų kiekis yra lygus, darbas.

Taigi, sustabdykite! Lygtis nėra pateikta. Tačiau Vieta teorema yra taikoma tik pirmiau minėtose lygtyse. Taigi pirmiausia turite pareikšti lygtį. Jei neveikia, išmeskite šią idėją ir nuspręskite kitaip (pavyzdžiui, diskriminant). Leiskite jums priminti, kad atneša kvadratinę lygtį - tai reiškia, kad vyresnysis koeficientas būtų:

Puikus. Tada šaknų kiekis yra lygus ir darbas.

Čia lengviau pasiimti paprastą: galų gale paprastas numeris (atsiprašau dėl tautologijos).

Atsakymas:; .

4 užduotis.

Nemokamas narys yra neigiamas. Kas ypatinga tai? Ir tai, kad šaknys bus skirtingi ženklai. Ir dabar atrankos metu mes nekontroliuojame šaknų kiekio, tačiau skirtumas tarp jų modulių: šis skirtumas yra lygus ir darbas.

Taigi, šaknys yra lygios ir, bet viena iš jų su minusu. Vieta teorema mums sako, kad šaknų kiekis yra lygus antrajam koeficientui su priešingu ženklu, tai yra. Taigi minus bus mažesnėje šaknyse: ir nuo to laiko.

Atsakymas:; .

5 užduotis.

Ką reikia padaryti pirmiausia? Teisė, pareikšti lygtį:

Vėlgi: mes pasirenkame skaičiaus daugiklius ir jų skirtumas turėtų būti lygus:

Šaknys yra lygios ir, bet vienas iš jų su minusu. Ką? Jų suma turėtų būti lygi, tai reiškia, kad minus bus didesnis.

Atsakymas:; .

Aš apibendrinsiu:

1. Vieta teorema naudojama tik tam tikrose kvadratinėse lygtyse.
2. Naudojant Vieta teoremą galite rasti šaknų pasirinkimu, žodžiu.
3. Jei lygtis nėra pateikta arba nėra tinkamos poros daugiklių nemokamo nario, o tai reiškia, kad nėra visos šaknys, ir būtina išspręsti kitą metodą (pavyzdžiui, diskriminant).

3. Viso kvadrato paskirstymo metodas

Jei visos sąlygos, kurias sudaro nežinoma, pristatyti sutrumpintos sumos ar skirtumo sumos komponentų, tada pakeitus kintamuosius, gali būti atstovaujama lygtis, kuri yra neišsamos kvadratinės rūšies lygties forma .

Pavyzdžiui:

1 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį :.

Sprendimas:

Atsakymas:

2 pavyzdys:

Nuspręskite lygtį :.

Sprendimas:

Atsakymas:

Į apskritai. \\ T Transformacija atrodys taip:

Tai reiškia :.

Nieko primena? Tai yra diskriminant! Tai yra diskriminano formulė ir gavo.

Kvadratinės lygtys. Trumpai apie pagrindinį dalyką

Kvadratinė lygtis- Tai yra rūšies lygtis, kur - nežinoma, - kvadratinės lygties koeficientai yra laisvas narys.

Visa kvadratinė lygtis - lygtis, kuria koeficientai nėra lygūs nuliui.

Sumažinta kvadratinė lygtis - lygtis, kurioje koeficientas yra :. \\ t

Nebaigta kvadratinė lygtis - lygtis, kurioje koeficientas ir laisvas narys yra nulis:

• jei koeficientas, lygtis yra :,
• jei laisvas narys, lygtis turi formą: \\ t
• jei lygtis turi formą :.

1. Algoritmo sprendimas neišsamių kvadratinių lygčių

1.1. Neišsamoje kvadratinės rūšies lygtis, kur:

1) išreikšti nežinomą:

2) išraiškos ženklo tikrinimas:

• jei lygtis neturi sprendimų,
• jei lygtis turi dvi šaknis.

1.2. Neišsamoje kvadratinės rūšies lygtis, kur:

1) Aš apibendrinsiu skliaustų gamyklą:

2) Produktas yra nulis, jei bent vienas iš daugiklio yra nulis. Todėl lygtis turi dvi šaknis:

1.3. Neišsamos rūšies lygybės, kur:

Ši lygtis visada turi tik vieną šaknį :.

2. Algoritmas, skirta išspręsti visas rūšies lygtis, kur

2.1. Sprendimas su diskriminuojančia pagalba

1) Mes suteikiame lygtį į standartinę formą: \\ t

2) Apskaičiuokite diskriminant pagal formulę: tai rodo lygties šaknų skaičių:

3) Raskite lygties šaknis:

• jei lygtis turi šaknį, kuri yra formulėje:
• jei lygtis turi šaknį, kuri yra pagal formulę:
• jei lygtis neturi šaknų.

2.2. Sprendimas naudojant "Vieta" teoremą

Sumažintos kvadratinės lygties šaknų sumos (formos lygtis, kur) yra lygūs, o šaknų produktas yra lygus, t. Y.. , bet.

2.3. Išspręskite visą kvadratinį paskirstymo metodą

Bibliografinis aprašymas: Gasanov A. R., Kuramshin A. A. A., Yelkov A. A. A., Širenkovas N. V., Ulanov D. D., Smeleva O. V. Būdai sprendžiant kvadratinių lygčių // Jaunas mokslininkas. - 2016. - №6.1. - S. 17-20...02.2019).



Mūsų projektas yra skirtas būdams spręsti kvadratinių lygčių. Projekto tikslas: išmokti išspręsti kvadratinių lygčių tokiais būdais, kurie nėra įtraukti į mokyklos programas. Užduotis: Rasti visus įmanomus būdus išspręsti kvadratinių lygtis ir sužinoti, kaip juos naudoti save ir pristatyti klasiokus su šiais būdais.

Kas yra "kvadratinės lygtys"?

Kvadratinė lygtis - tipo lygtis kirvis.2 + BX + C \u003d 0kur a., b., c. - kai kurie numeriai ( a ≠ 0.), x. - Nežinoma.

A, B, C numeriai vadinami kvadratinės lygties koeficientais.

• a yra vadinamas pirmuoju koeficientu;
• b yra vadinamas antrasis koeficientas;
• c - NEMOKAMAS narys.

Ir kas yra pirmoji "išrado" kvadratinių lygtis?

Kai kurie linijinių ir kvadratinių lygčių šalinimo algebriniai metodai buvo žinomi kaip prieš 4000 metų senovės Babilone. Senovės Babilonijos molio plokštės randamos kažkur tarp 1800 ir 1600 m. Pr. Kr., Yra ankstyviausios kvadratinių lygčių tyrimo įrodymas. Tais pačiais ženklais pateikiami kai kurių tipų kvadratinių lygčių tipų sprendimo būdai.

Poreikis išspręsti lygtis ne tik pirmoji, bet ir antrąjį laipsnį senovėje buvo sukeltas poreikis išspręsti užduotis, susijusias su žemės plotų vieta ir su žemės darbais karinio pobūdžio, taip pat su astronomijos plėtra ir Matematika pati.

Šių lygčių sprendimas Babilonijos tekstuose iš esmės sutampa su šiuolaikinėmis, tačiau nežinoma, kaip babiloniečiai pasiekė šią taisyklę. Beveik visi klinows tekstai, rasti iki šiol, tik užduotys su sprendimais, išdėstytais receptų forma, be požymių, kaip jie buvo rasti. Nepaisant aukštas lygis Algebros plėtra Babilone, Clinox tekstuose nėra neigiamo skaičiaus sąvokos ir bendrieji metodai Kvadratinių lygčių sprendimai.

Babilonijos matematika nuo IV a. BC. Naudojo kvadrato papildymo metodą, kad išspręstumėte teigiamų šaknų lygtis. Apie 300 bc. Euklidas sugalvojo bendresnį geometrinio sprendimo metodą. Pirmasis matematikas, kuris rado lygties sprendimus su neigiamomis šaknimis algebrinės formulės forma buvo Indijos mokslininkas Brahmagupta. (Indija, VII a. Mūsų eros).

Brahmagupta nurodė bendrą taisyklę sprendžiant kvadratines lygtis vienai kanoninėje formoje:

aX2 + BX \u003d C, A\u003e 0

Šioje lygtyje koeficientai gali būti neigiami. Brahmagupta taisyklė iš esmės sutampa su mūsų.

Indijoje viešieji konkursai buvo platinami sprendžiant sudėtingas užduotis. Vienoje iš senų Indijos knygų, pasakyta apie tokius konkursus taip: "Kaip saulė yra blizginanti su savo žvaigždėmis, todėl mokslininkas žmogus Elicite Fame in liaudies susirinkimas, algebrinių užduočių siūlymas ir sprendimas. " Užduotys dažnai mėgaujasi poetine forma.

Algebrinėje gydymuose Al-khorezmi. Pateikiama linijinių ir kvadratinių lygčių klasifikacija. Autorius apima 6 lygčių rūšis, išreiškiant juos taip:

1) "kvadratai yra lygūs šaknų", t.y. ah2 \u003d bx.

2) "kvadratai yra lygūs numeriui", t.e. ah2 \u003d s.

3) "Šaknys yra lygios numeriui", tai yra, AH2 \u003d p.

4) "kvadratai ir skaičiai yra lygūs šaknų", t.e. ah2 + c \u003d bx.

5) "kvadratai ir šaknys yra lygūs numeriui", tai yra, AH2 + BX \u003d p.

6) "šaknys ir skaičiai yra lygūs kvadratų", ty BX + C \u003d\u003d AH2.

Al-Khorezmi, vengiant neigiamų numerių naudojimo, kiekvienos iš šių lygčių nariai yra pagrįsti, o ne atimami. Tuo pačiu metu, tai nėra akivaizdžiai atsižvelgiama į lygtis, kad neturi teigiamų sprendimų. Autorius nustato būdus, kaip išspręsti šias lygtis, naudojant Al-Jabr ir Al-Mukabala metodus. Žinoma, jo sprendimas nesutampa su mūsų. Jau jau nekalbant apie tai, kad jis yra tik retorinis, reikia pažymėti, pavyzdžiui, kad sprendžiant neišsamią pirmosios al-Korezmos rūšių lygtį, kaip ir visa matematika iki XVII amžiaus, neatsižvelgia į nulinį sprendimą , tikriausiai, nes konkrečiu praktiniu praktiniu praktiniu jos nesvarbu užduotis. Sprendžiant pilnas kvadratinių lygtis, al-urkai privačių skaitmenų pavyzdžiuose nustato sprendimo taisykles, o tada jų geometrinius įrodymus.

Iš kvadratinių lygčių tirpalo atrinkimo Al-Khorezmi Europoje buvo pirmiausia išdėstyti "Abaka" knygoje "parašyta 1202G. Italų matematikas Leonardas Fibonacci.. Autorius sukūrė nepriklausomai kai kurie nauji algebriniai pavyzdžiai sprendžiant problemas ir pirmasis Europoje kreipėsi į neigiamų skaičių įvedimą.

Ši knyga prisidėjo prie algebrinių žinių plitimo ne tik Italijoje, bet ir Vokietijoje, Prancūzijoje ir kitose Europos šalyse. Daugelis užduočių iš šios knygos buvo beveik į visus Europos vadovėlius XIV-XVII šimtmečius. Pagrindinė taisyklė Sprendimai dėl kvadratinių lygčių, suteiktų vienai kanoninės formos x2 + BX \u003d C su visų rūšių požymių ir koeficientų b, c rūšių, buvo suformuluota Europoje 1544 m. M. SCIGEL.

Generalinio kvadrato lygties tirpalo formulės produkcija yra prieinama Vietoje, tačiau Viet pripažino tik teigiamas šaknis. Italų matematikai Taralija, Cardano, bombelly Tarp pirmųjų XVI a. Atsižvelgiant į teigiamą ir neigiamą šaknų. Tik XVII a. Dėka darbo vieta Girard, Descartes, Newton Ir kiti mokslininkai Skiršių lygčių sprendimo būdą užima šiuolaikinę išvaizdą.

Apsvarstykite keletą būdų spręsti kvadratinių lygčių.

Standartiniai būdai sprendžiant kvadratinių lygčių iš mokyklos programos:

1. Kairiosios gamyklos lygties dalių skaidymas.
2. Viso kvadrato paskirstymo metodas.
3. Kvadratinių lygčių tirpalas pagal formulę.
4. Kvadratinio lygties grafinis sprendimas.
5. Sprendžiant lygtis naudojant Vieta teoremą.

Leiskite mums gyventi ant pirmiau minėtų ir ne įtrauktų kvadratinių lygčių į Vieta teoremą.

Prisiminkite, kad išspręsti pirmiau minėtas kvadratines lygtis, pakanka rasti du numerius, kurių produktas yra lygus laisvam nariui, o suma yra antrasis koeficientas su priešingu ženklu.

Pavyzdys.x. 2 -5x + 6 \u003d 0

Būtina rasti numerius, kurių darbas yra 6, ir suma 5. Tokie skaičiai bus 3 ir 2.

Atsakymas: X. 1 \u003d 2, x 2 =3.

Tačiau šis metodas gali būti naudojamas lygtis, kurių pirmasis koeficientas nėra lygus.

Pavyzdys.3x. 2 + 2x-5 \u003d 0

Paimkite pirmąjį koeficientą ir padauginkite jį nemokamu terminu: x 2 + 2x-15 \u003d 0

Šios lygties šaknys bus numeriai, kurių produktas yra - 15, o suma yra lygi - 2. Šie skaičiai yra 5 ir 3 norint rasti pirminės lygties šaknis, šaknys, gaunamas padalinti pirmąjį koeficientą .

Atsakymas: X. 1 \u003d -5 / 3, x 2 =1

6. lygčių sprendimas pagal "tranzito" metodu.

Apsvarstykite kvadratinę lygtį AH2 + BX + C \u003d 0, kur a ≠ 0.

Abiejų dalių padauginimas a, mes gauname 2 x 2 + ABH + AC \u003d 0 lygtį.

Leiskite OH \u003d Y, kur x \u003d y / a; Tada ateikite į 2 + AC \u003d 0 lygtį, lygiavertį. Jo šaknys 1 ir 2 bus rasti su Vietos teoremo pagalba.

Mes pagaliau gauti x 1 \u003d 1 / A ir x 2 \u003d Y 2 / a.

Šiame metode koeficientas A yra padaugintas iš laisvo nario, nesvarbu, kaip "perduodama", tai vadinama "tranzito" metodu. Šis metodas naudojamas, kai jūs galite lengvai rasti lygties šaknis naudojant Vieta teorem ir, svarbiausia, kai diskriminant yra tiksli aikštė.

Pavyzdys.2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

"Mes perkeliame koeficientą 2 į nemokamą narį ir pakeisime, kad gautume lygtį 2 - 11u + 30 \u003d 0.

Pagal atvirkštinę Vieta teoremą

1 \u003d 5, x 1 \u003d 5/2, x 1 \u003d 2.5; 2 \u003d 6, x 2 \u003d 6/2, x 2 \u003d 3.

Atsakymas: H. 1 \u003d 2.5; H. 2 = 3.

7. Kvadratinės lygties koeficientų savybės.

Leiskite kvadratinės lygties AH2 + BX + C \u003d 0, ir ≠ 0.

1. Jei A + B + C \u003d 0 (t.y. lygties koeficientų suma yra nulis), tada x 1 \u003d 1.

2. Jei a - b + c \u003d 0, arba b \u003d a + s, tada x 1 \u003d - 1.

Pavyzdys.345x. 2 - 137x - 208 \u003d 0.

Nuo A + B + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), tada x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Atsakymas: H. 1 \u003d 1; H. 2 = -208/345 .

Pavyzdys.132x. 2 + 247x + 115 \u003d 0

Nes. A-B + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), tada x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Atsakymas: H. 1 \u003d - 1; H. 2 =- 115/132

Yra ir kitų savybių kvadratinių lygčių koeficientų. Tačiau ledinis naudojimas yra sudėtingesnis.

8. Sprendimas kvadratinių lygčių su nomograma.

1 pav. Nomogram

Tai senas ir šiuo metu pamirštas būdas išspręsti kvadratines lygtis, pateiktas S.83 kolekcijai: Brandis V.m. Keturių skaitmenų matematiniai lentelės. - M., Apšvieta, 1990 m.

XXII lentelė. Nomograma siekiant išspręsti lygtį z 2 + pz + q \u003d 0. Ši nomograma leidžia išspręsti kvadratinę lygtį, jos koeficientai nustatyti lygties šaknis.

Nomogramos kreivos skalę sukuria formulės (1 pav.):

Tikėjo OS \u003d p, ed \u003d q, oe \u003d a (visi cm), nuo trikampių panašumo 1 pav. San. ir. \\ T CDF. Mes gauname proporciją

kur po pakeitimų ir supaprastinimų seka lygtį z 2 + pz + q \u003d 0,be to, laiškas z. reiškia bet kokio kreivinės skalės taško etiketę.

Fig. 2 kvadratinių lygčių sprendimas naudojant nomogramą

Pavyzdžiai.

1) lygimui z. 2 - 9Z + 8 \u003d 0 Nomograma suteikia šaknis z 1 \u003d 8,0 ir z2 \u003d 1.0

Atsakymas: 8.0; 1.0.

2) sprendimai su nomogramos lygtimi

2z. 2 - 9Z + 2 \u003d 0.

Mes padalijame šios lygties koeficientus 2, mes gauname Z2 - 4.5z + 1 \u003d 0 lygtį.

Nomograma suteikia šaknis Z1 \u003d 4 ir Z2 \u003d 0,5.

Atsakymas: 4; 0,5.

9. Geometrinis metodas sprendžiant kvadratinių lygčių.

Pavyzdys.h. 2 + 10x \u003d 39.

Originalioje ši užduotis yra suformuluota taip: "Square ir dešimt šaknys yra 39".

Apsvarstykite kvadratą nuo X pusės, stačiakampiai yra pastatyti į savo šalis, kad kita kiekvienos iš jų pusė yra 2,5, todėl kiekviena sritis yra 2,5x. Gautas skaičius papildo naują ABSD kvadratą, užpildant keturias vienodas kvadratus kampuose, kiekvienos iš jų pusė yra 2,5, o plotas yra 6.25

Fig. 3 grafinis būdas išspręsti x 2 + 10x \u003d 39

"ABCD Square S" gali būti atstovaujama kaip erdvės kiekis: pradinis kvadratinis x 2, keturi stačiakampiai (4 ∙ 2.5x \u003d 10x) ir keturi pridedami kvadratai (6.25 ∙ 4 \u003d 25), t.y. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. X2 + 10x numerio pakeitimas 39, mes gauname, kad S \u003d 39+ 25 \u003d 64, iš kur tai reiškia, kad AVD kvadrato pusėje, t.y. Iškirpkite AB \u003d 8. Norima pirminės aikštės X pusėje

10. Lygčių sprendimas naudojant "Mouture Theorem".

Teorema pjauti. Likutis iš polinominio P (X) pasiskirstymo ant X - α yra P (α) (tai yra, vertė P (x) x \u003d α).

Jei numeris α yra polinominio p (x) šaknis, tada šis polinomas yra padalintas į x -α be liekanos.

Pavyzdys.x²-4x + 3 \u003d 0

P (x) \u003d x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α \u003d 1, 1-4 + 3 \u003d 0. Mes padalijame P (x) iki (x - 1): (x²-4x + 3) / (x - 1) \u003d x-3

x²-4x + 3 \u003d (x - 1) (x - 3), (x - 1) (x - 3) \u003d 0

x - 1 \u003d 0; x \u003d 1 arba x-3 \u003d 0, x \u003d 3; Atsakymas: H.1 \u003d 2, x2 =3.

Išėjimas: Gebėjimas greitai ir racionaliai išspręsti kvadratinių lygtis yra tiesiog būtina išspręsti sudėtingesnes lygtis, pavyzdžiui, dalines racionalias lygtis, lygtis didesnių laipsnių, BIC-muito lygtis, ir vyresnysis mokykla trigonometrinių, orientacinių ir logaritminių lygčių. Išnagrinėjęs visus nustatytus būdus, kaip išspręsti kvadratines lygtis, galime patarti klasiokams, išskyrus standartinius metodus, sprendžiant transformacijos metodą (6) ir sprendžiant lygtis koeficiento turtui (7), nes jie yra labiau prieinami suprasti supratimą.

Literatūra:

1. Bradis V.M. Keturių skaitmenų matematiniai lentelės. - M., Apšvieta, 1990 m.
2. Algebra klasė 8: pamoka 8 cl. Bendrasis išsilavinimas. Institucijos Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neškovas K. I., Suvorov S. B. B. ED. S. A. Telikovsky 15 Ed., Doraby. - m.: Apšvietimas, 2015 m
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0D0D0D0D0D0D1%D1%82%D0D0D0D%D0%GE%D0. .% B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% D0% BD% D0% B8% D0% B5
4. Glaser G.I. Matematikos istorija mokykloje. Mokytojų vadovas. / Ed. V.N. Jaunas. - m.: Apšvietimas, 1964 m.