Diferencialo lygties lygtis, jungianti tam tikros nežinomos funkcijos vertę tam tikru tašku ir įvairių užsakymų išvestinių finansinių priemonių vertę tuo pačiu tašku. Diferencinė lygtis yra jo įraše nežinoma jo darinių ir nepriklausomų kintamųjų funkcija; Tačiau nėra jokia darinių nežinomų funkcijų lygiava yra diferencialinė lygtis. Netiesinė diferencinės lygties diferencialinė lygtis įprasta arba su privačiais dariniais, kuriuose bent vienas ...
Dalytis darbu socialiniuose tinkluose
Jei šis darbas nepatenka į puslapio apačioje yra panašių darbų sąrašas. Taip pat galite naudoti paieškos mygtuką.
Pgu. T.G. Ševčenka
Kursų darbas
1-osios eilės diferencialinių lygčių tipai
Atlikta:
Studentų 211 grupės
Specialybės "Itisis"
Bibo Igoris Andreevich.
Patikrinta:
Tiraspol 2014 metai
1. Įžanga 3 p.
2. Diferencialinių lygčių tipai 4 p.
3. Praktinė 8 dalis p.
4. Literatūra 20 p.
- ĮVADAS. \\ T
Diferencialo lygtis yra lygtis, jungianti tam tikros nežinomos funkcijos vertę tam tikru momentu ir įvairių užsakymų išvestinių finansinių priemonių vertę tuo pačiu tašku. Diferencinėje lygtyje yra nežinoma funkcija savo įrašuose, jo dariniai ir nepriklausomi kintamieji; Tačiau nėra lygties, kurioje nėra išvestinių funkcijų, yra diferencialinė lygtis.
Diferencialo lygties tvarka yra didžiausia išvestinių finansinių priemonių tvarka.
Diferencialo lygties sprendimo procesas vadinamas integracija.
Visos diferencialinės lygtys gali būti suskirstytos į linijines, o ne linijines.
Netiesinė diferencialinė lygtis -diferencialas Lygtis (įprastos arba su privačiomis išvestinėmis priemonėmis), į iš mažiausiai nežinomos funkcijos darinių (įskaitant nulinio užsakymo darinį - nežinoma funkcija) patenka į netiesinę.
Kartais pagal N.D. Patiekalai bendra lygtis. \\ T tam tikra rūšis.Pvz., nonline. \\ Tdiferencialas1-osios eilės lygtis vadinama. Lygtis su savavališku
funkcija su linijine įprasta diferencialas1-osios eilės lygtis atitinka privatų atvejį.
N. d. y. su privačiais dariniais 1. Užsakymas už nežinomą funkcijąz.
nuo nepriklausomų kintamųjų Jis turi formą:
kur f yra savavališka jos argumentų funkcija;
1-osios eilės diferencialinių lygčių tipai:
Lygtys su atskirtais kintamaisiais
P1.
Bendras integralas
P2.
Bendras integralas
Lygtis visais skirtumais
Kur
Yra tokia funkcijau (x, y) tai
Bendras lygties integralas visiškai skirtumų u (x, y) \u003d C.
U. Funkcija galima pateikti formoje
Vienoda lygtis
kur p (x, y), q (x, y) - vienodos to paties laipsnio funkcijos
Pakaitas Y \u003d UX, DY \u003d XDU + UDX verčia vienodą lygtį linijiniam palyginti su funkcijau:
Peržiūrėti lygtį
1. Jei tiesiogiai ir susikerta taške
(x 0; y 0 ), tada pakaitalas veda į homogenišką lygtį
2. Jei tiesiai ir lygiagrečiai, tada pakaitalas lemia lygtį su atskyrimo kintamaisiais
Bernoulli lygtis
Pakaitinis ateina į linijinį
Riccati lygtis
Jei yra žinomi sprendimai, lygtis ateina iki
linijinis pakaitalas.
Lagrange lygtis
Diferencijuoja. \\ Tx ir tikėjimas y "\u003d p , ateiti į linijinę lygtįx kaip funkcija P:
Clairo lygtis
Lagrange lygties privatus atvejis.
Praktinė dalis.
Riccati lygtys
Išspręsti diferencialinę lygtį
y "\u003d y + y 2 + 1.
Sprendimas.
Ši lygtis yra paprasčiausia riccati lygiava su nuolatiniais koeficientais. Kintamieji X, Y čia yra lengvai padalinami, kad bendras lygties sprendimas būtų nustatomas tokia forma:
Išspręskite Riccati lygtį
Sprendimas Šis sprendimas
Mes ieškosime privataus sprendimo formos:
Pakeitus jį į lygtį, mes randame:
Gauti kvadratinė lygtis C:
Galime pasirinkti bet kokią vertę c. Pavyzdžiui, leiskite C \u003d 2. Dabar, kai žinoma konkretus sprendimas, pakeisime:
Tai pakeisime į pradinę Riccati lygtį:
Kaip matyti, mes gavome "Bernoulli" lygtį su parametru M \u003d 2. Padarysime kitą pakeitimą:
Mes padaliname "Bernoulli" lygtį Z2 (tikintis, kad Z ≠ 0) ir parašykite jį per kintamąjį V:
Paskutinė lygtis yra linijinė ir yra lengvai išspręsta naudojant integruojantį daugiklį:
Bendras linijinės lygties sprendimas nustatomas pagal funkciją
Dabar mes būsime nuosekliai grąžinami į ankstesnius kintamuosius. Nuo Z \u003d 1 / V, bendras ZS sprendimas Z yra parašyta taip:
Taigi,
Galite pervardyti pastovią: 3C \u003d C1 ir užrašyti atsakymą į formą
kur C1 yra savavališkas galiojantis numeris.
Bernuli lygtys
Sprendimas.
Ši lygtis yra "Bernoulli" lygtis su daliniu parametru
m. \u003d 1/2. Jis gali būti sumažintas iki linijinės diferencialinės lygties pakeitimo
Naujos funkcijos darinysz (x) bus lygi
Mes padaliame pradinę Bernoulli lygtį
Panašus į kitus šio tinklalapio pavyzdžius, šaknisy. \u003d 0 taip pat yra trivialus diferencialinės lygties sprendimas. Todėl galite rašyti:
Pakeitus y ant z, surasti:
Taigi, mes turime linijinę lygtį funkcijaiz (X. ). Integruotas daugiklis bus lygus čia.
Pasirinkite funkciją kaip integruojantį daugiklįu (x) \u003d x . Galite patikrinti, kad po dauginėjimou (x. ) Kairė lygties dalis bus išvestinė priemonėz (x) u (x):
Tada bendras linijinės diferencialinės lygties sprendimas bus nustatomas pagal išraišką:
Grįžimas į šaltinio funkcijąy (X. ), užrašykite sprendimą netiesioginėje formoje:
Taigi, visas atsakymas yra:
Lygtys su atskyrimo kintamaisiais
Rasti visus diferencialinės lygties sprendimus
y "\u003d -xe y.
Sprendimas.
Mes transformuojame lygtį taip:
Akivaizdu, kad padalinys Ey. nesukelia sprendimo praradimo, nes ey. \u003e 0. Po integracijos mes gauname
Šis atsakymas gali būti aiškiai nurodytas:
Paskutinėje išraiškoje daroma prielaida, kad C\u003e 0 pastoviai patenkinti logaritminio funkcijos nustatymo sritį.
Rasti konkretų lygties sprendimą
y (0) \u003d 0.
Sprendimas.
Perrašome lygtį šiomis formomis:
Mes padalijome abi dalis 1 + ex:
Nuo 1 + e x \u003e 0, tada dalijant, mes neprarado jokių sprendimų. Mes integruojame gautą lygtį:
Dabar mes randame pastovią c nuo pradinės būklės y (0) \u003d 0.
Todėl galutinis atsakymas yra:
Clairo lygtis
y \u003d xy "+ (y") 2
Sprendimas Šis sprendimas
Tikėjimas Y "\u003d P, jis gali būti parašytas formoje
Tiesioginant kintamąjį x, mes randame:
Pakeiskite dy ant PDX:
Pirmasis veiksnys iki nulio, mes gauname:
Dabar jį pakeisime antroje lygtyje:
Kaip rezultatas, mes gauname bendrą sprendimą nurodytą Klero lygtį. Grafiškai šis sprendimas yra sudarytas kaip tiesioginio tiesioginio parametrų šeima. Lyginti nulį antrojo veiksnio, mes randame kitą sprendimą:
Ši lygtis atitinka ypatingą diferencialinės lygties sprendimą ir parametrinėje formoje yra parašyta kaip
Išskyrus P iš sistemos, mes gauname tokią integruos kreivės lygtį:
Geometriniu požiūriu, parabola
tai tiesioginės šeimos vokai, nustatoma pagal bendrą sprendimą.
Raskite bendrą ir specialius diferencialinės lygties sprendimus
Sprendimas.
Pristatome parametrą y "\u003d p:
Skiriant abi lygties dalims kintamame X, mes gauname:
Nuo dy \u003d pdx, tada galite rašyti:
Apsvarstykite bylą dp \u003d 0. Tada P \u003d C. Pakeitus tai į lygtį, mes randame bendrą sprendimą:
Grafiškai šis sprendimas atitinka vienos parametrų šeimos tiesioginių linijų šeimą.
Antrąjį atvejį aprašoma lygtis
Raskite tinkamą parametrinę išraišką Y:
Parametras P gali būti pašalintas iš formulių X ir Y. Auskarai paskutines lygtis aikštėje ir sulankstoma juos, mes gauname:
Gauta išraiška yra perimetras su 1 spinduliu, esančiu koordinatės pradžioje. Taigi, tam tikrą sprendimą atstovauja vienas ratas XY plokštumoje, kuri yra vokai tiesių linijų šeimai.
Literatūra
- N.S. "Piskunov" "Diferencialinė ir integruota skaičiavimas", Tom Antra, leidėjas "Nauka", Maskva 1985
- V. F. Zaitsev, A. D. Polynin. Nuoroda į įprastas diferencialines lygtis. M.: Fizmatlit, 2001.
- K.N. Lungu, V.P. Nori et al. "Užduočių rinkimas aukštesnėje matematikoje", antrasis kursas, Maskva: Iris Paspauskite, 2007
- E. Kamka. Nuoroda į įprastas diferencialines lygtis. M.: Mokslas, 1976 m.
- Informacijos šaltiniai internete.
Puslapis \\ * MergeFormat 19
Kiti panašūs darbai, kurie gali jus dominti. ISHM\u003e |
|||
| 13541. | Pagrindinės pirmosios eilės diferencialinės lygtys | 113.05 KB. | |
| Apsvarstykite lygtį XXDXYYYYY \u003d 0 1, kuriame DX koeficientas priklauso tik nuo X ir koeficiento su dy - tik iš Y. Tokia lygtis vadinama atskirais kintamais lygiu. Tada 1 lygtis gali būti perrašyta. Lygtis su atskirtais kintamais yra lengvai teikiama pagal formos P1XP2YDX Q1XQ2YDY \u003d 0, kuriame dx ir dy koeficientai yra funkcijos darbai iš X į funkciją iš Y. | |||
| 13536. | Pirmosios eilės bendro teorijos elementai | 129,39 kb. | |
| Tokios lygtys vadinamos diferencialu. Panašus tyrimas naudojant diferencinę lygtį taip pat gali būti atliekamas studijuoti uždarymo gavybą. Norint rasti šią funkciją atskirti kintamuosius t ir x vienas nuo kito, kol surinkdami narius su x kairėje pusėje lygties ir narių su T dešinėje pusėje :. | |||
| 19450. | Nenubalinių lygčių sprendimo būdai | 156,56 kb. | |
| Matome, kad abi dalys nėra algebai ir yra trigonometriniai formulės Todėl ši transcendentinė lygtis, dėl kurios nėra formulės ieškant šaknų. Mes statyti grafiką apytiksliai nustatyti spragas, kuriose yra šaknų, pamatyti, kad mes suvokiame pusinės dalių metodą. Norint naudoti šią funkciją, parašykite scenarijų, kuris parodys pirmuosius penkis šaknis, kad juos būtų galima pažymėti grafike ir naudoti įmontuotą funkciją, kad patikrintumėte tirpalą ir apskaičiuotumėte rezonansinius strypų dažnius. | |||
| 6217. | Neminijinių lygčių sistemos šaknų paieškos metodai | 284,94 KB. | |
| Sistemos šaknų paieškos metodai netiesinės lygtys. Dėl 2 lygčių sistema, tai galima padaryti grafiškai, tačiau aukštos eilės sistemų patenkinamų metodų šaknies atskyrimo neegzistuoja. Sistemos sprendimo problema įvyksta sprendžiant daugelį programų, pavyzdžiui, besąlyginės daugelio kintamųjų funkcijų ekstremalų paieška su būtinomis sąlygomis pagalba ... | |||
| 1726. | Netiesinių lygčių šaknų skaičiavimas Niutono | 123.78 KB. | |
| Šio tikslo tikslas kursinis darbas Tai yra studija ir įgyvendinimas programinės įrangos produktų sprendžiant netiesinius lygtis naudojant Netieso metodą. Pirmasis skyrius yra teorinis ir yra apskritai. \\ T Apie Newton metodą. | |||
| 19491. | Sprendžiant skirtingas lygtis privačiuose išvestinių finansinių priemonių | 267,96 KB. | |
| Apskritai du vandens skaičiavimo linija apskaičiuoti, turite paleisti PDE įrankių dėžutę, kad tai padarytumėte, turite atlikti PDETool komandą darbo zonoje MTLB.- Dviejų dimensijų modelio laidžios linijos pirmiausia nuo geometrinio linijos Sistemos modelio primityvos ... | |||
| 19443. | Paprastų diferencialinių lygčių sprendimo būdai | 72,36 kb. | |
| Norėdami pradėti, apsvarstykite EULER metodą, nes tai yra lengviausias nuo esamų skirtingų lygčių sprendimo būdų ir pabaigoje palyginti rezultatus. EULER metodas yra aiškus vieno etapo metodas pirmojo tikslumo tvarka, pagrįsta integruotos kreivės derinimu pagal "Pievewise" linijinę funkciją ... | |||
| 6215. | Skaitmeniniai paprastųjų skirtingų lygčių sprendimo būdai | 1,42 MB. | |
| Įprastos diferencialinės lygties tvarka yra pageidaujamos funkcijos senesnės išvestinės priemonės tvarka. Bendra integruota lygtis. Netiesiogiai nuolatinės integracijos skaičius yra lygus lygties tvarka. Bendras įprastos diferencialinės lygties sprendimas vadinamas funkcija. | |||
| 13538. | Paprastųjų skirtingų lygčių sprendimo būdų sąvoka | 153,35 kb. | |
| EULER metodo trūkumai 4. EULER metodo idėja yra labai paprasta. Kaip rezultatas, mes atvykstame į apytikslę lygtį: nes pagal apibrėžimą y \u003d galų gale mes turime tokią lygtį, kuri yra EULER metodo pagrindas: 8, žinoma, ši lygtis yra tik apytiksliai ir tikimės, kad mažiau žingsnis X žingsnis bus tikslesnis, kad sumažintumėte vietinę metodo klaidą. Vienas žingsnis yra vienas žingsnis. | |||
| 3551. | Skaitmeninių metodų vizualizavimas. Paprastų diferencialinių lygčių sprendimas | 143.97 KB. | |
| Diferencialinės lygtys vadinamos lygtims, jungiančiomis tam tikros nežinomos funkcijos vertę tam tikru momentu ir įvairių užsakymų išvestinių finansinių priemonių vertę tuo pačiu tašku. Pirmosios diferencialinės lygtys kilo iš mechanikos užduočių ... | |||
Straipsnio turinys
Diferencialinės lygtys.Daug fizinių įstatymų, kuriems taikomi tam tikri reiškiniai, įrašomi į matematinę lygtį, išreiškiančią tam tikrą priklausomybę nuo tam tikrų vertybių. Dažnai kalbame apie santykį tarp vertybių, skirtingo laiko, pavyzdžiui, variklio efektyvumas, matuojamas atstumu, kurį automobilis gali važiuoti ant vieno kuro kraiko, priklauso nuo transporto priemonės greičio. Atitinkamoje lygtyje yra viena ar daugiau funkcijų ir jų darinių ir vadinama diferencialine lygtimi. (Laiko keitimo temperatūros pokytis nustatomas pagal greitį; todėl greitis yra kilęs iš atstumo; panašiai pagreitis yra gaunamas iš greičio, nes pagreitis nustato greičio pasikeitimo tempą laikui bėgant.) Labai svarbukuri turi diferencines lygtis matematikai ir ypač jos paraiškoms, yra paaiškinami sprendimu išspręsti tokias lygtis, sumažėja daugelio fizinių ir techninių užduočių tyrimas. Diferencialinės lygtys vaidina svarbų vaidmenį kitų mokslų, pavyzdžiui, biologijos, ekonomikos ir elektrotechnikos; Tiesą sakant, jie kyla visur, kur yra poreikis kiekybiniams (skaitmeniniams) reiškiniams aprašymams (nuo netrukus pasaulis Skiriasi laiku ir sąlygos pasikeičia iš vienos vietos į kitą).
Pavyzdžiai.
Šie pavyzdžiai leidžia geriau suprasti, kaip skirtingos užduotys yra suformuluotos diferencialinių lygčių kalba.
1) kai kurių radioaktyviųjų medžiagų puvimo įstatymas yra tai, kad skilimo greitis yra proporcingas šios medžiagos grynųjų pinigų sumai. Jeigu x. - medžiagos kiekis tam tikru momentu t.Šis įstatymas gali būti įrašytas taip:
kur dX./dT. - skilimo greitis ir k. - kai kurios teigiamos šios medžiagos apibūdinimo. (Minus ženklas dešinėje yra nurodoma x. mažėja su laiku; Plius ženklas, taip visada, kai ženklas yra aiškiai nenurodytas, tai reikštų x. su laiku.)
2) Iš pradžių talpa yra 10 kg druskų, ištirpintų 100 m 3 vandens. Jei švarus vanduo pilamas į 1 m 3 greitį per minutę ir yra tolygiai sumaišyti su tirpalu, o gautas sprendimas išplaukia iš tos pačios greičio, tada kiek druskų bus į konteinerį bet kuriame vėlesniame laikas? Jeigu x. - druskos kiekis (kg) rezervuare tuo metu t.Tada bet kuriuo metu t. 1 m 3 tirpale yra konteinerio x./ 100 kg druskų; Todėl druskos kiekis sumažėja greičiu x./ 100 kg / min, arba
3) Leiskite masei m., sustabdytas iki pavasario pabaigos, grąžinimo jėga veikia proporcingai spyruoklėms tempimui. Leisti būti x. - kūno nuokrypio dydis nuo pusiausvyros padėties. Tada, pasak Newton antrojo įstatymo, kuris teigia, kad pagreitis (antrasis darinys x. laiku, pažymėta d. 2 x./dT. 2) proporcingai stiprumas:
Dešinėje pusėje yra minuso ženklas, nes grįžta jėga sumažina spyruokles.
4) aušinimo įstaigų įstatymas teigia, kad šilumos kiekis organizme sumažėja proporcingai kūno temperatūros skirtumui ir aplinkos.. Jei puodelis kavos pašildytas iki 90 ° C temperatūros yra patalpoje, temperatūra, kuri yra lygi 20 ° C, tada
kur T. - kavos temperatūra laiku t..
5) Valstybinės Bler Foubus užsienio reikalų ministras teigia, kad Lilliputijos priimtos ginklų programa verčia savo šalį kuo labiau padidinti karines išlaidas. Lilliputijos užsienio reikalų ministras taip pat palengvina panašiais pareiškimais. Padėtis, atsirandanti dėl rezultato (paprasčiausio aiškinimu) galima tiksliai apibūdinti dviem diferencialinėmis lygtimis. Leisti būti x. ir. \\ T y. - Lilliputijos ir Blerofus ginkluotės išlaidos. Darant prielaidą, kad lillipatija padidina savo ginklų sąnaudas greičiu, proporcingai didinti ginkluotų fupų kainą ir priešingai, mes gauname:
kur nariai yra kirvis. ir - iki dalies Apibūdinkite kiekvienos šalies karines išlaidas k. ir. \\ T l. - teigiamos konstantos. (Ši užduotis pirmą kartą buvo suformuluota 1939 m L. Ryrhardson.)
Po užduoties įrašoma diferencialinių lygčių kalba, turėtumėte pabandyti juos išspręsti, t. Y. Rasti kiekius, kurių greičiai yra įtraukti į lygtį. Kartais sprendimai yra aiškios formulės forma, tačiau dažniau jie gali būti pateikiami tik apytikslėje formoje arba gauti kokybišką informaciją apie juos. Dažnai sunku nustatyti, ar yra sprendimas, jau nekalbant apie jį rasti. Svarbi skirstomųjų lygčių teorijos dalis yra vadinamoji "egzistavimo teoremai", kurioje pasirodė esąs sprendimas vienoje ar kitoje diferencialinių lygčių tipas.
Pradinė fizinės problemos matematinė formuluotė paprastai yra supaprastintos prielaidos; Jų žvalgybos kriterijus gali būti matematinio sprendimo suderinamumo laipsnis su esamomis pastabomis.
Diferencialinių lygčių sprendimai.
Diferencialinė lygtis, pavyzdžiui dy./dX. = x./y., tenkina ne numerį, bet funkciją, šiuo konkrečiu atveju toks, kad jo tvarkaraštis bet kuriame taške, pavyzdžiui, taške su koordinatais (2.3), turi liestinę kampinis koeficientaslygus koordinates santykiui (mūsų 2/3 pavyzdyje). Tai lengva įsitikinti, kad jei statyti daug taškų ir atidėti trumpą pjovimo su atitinkamu nuolydžiu. Sprendimas bus funkcija, kurios grafikas yra susijęs su kiekvienu atitinkamo segmento tašku. Jei taškai ir segmentai yra gana daug, tada mes galime apytiksliai apibūdinti sprendimų pažangą (trys tokios kreivės nurodytos 1 pav.). Yra tiksliai vienas su kreivės sprendimas, einantis per kiekvieną tašką y. № 0. Kiekvienas atskiras sprendimas vadinamas privačiu diferencialinės lygties sprendimu; Jei galima rasti formulę, kurioje yra visi privatūs sprendimai (išskyrus, galbūt, keliais ypatingais), tada jie sako, kad gaunamas bendras sprendimas. Privatus sprendimas yra viena funkcija, o visa šeima yra visa šeima. Išspręskite diferencialinę lygtį - tai reiškia rasti savo privatų ar bendro sprendimo. Mūsų pavyzdyje bendras sprendimas turi formą y. 2 – x. 2 = c.kur c. - bet koks skaičius; Privatus sprendimas, einantis per tašką (1.1), turi formą y. = x. Ir paaiškėja c. \u003d 0; Privatus sprendimas, einantis per tašką (2.1), turi formą y. 2 – x. 2 \u003d 3. Sąlyga, kuriai reikia, kad verkimo sprendimas vyksta, pavyzdžiui, per tašką (2.1), vadinama pradine sąlyga (kaip nurodoma pradžios taškas dėl kreivės sprendimo).
Galima įrodyti, kad pavyzdyje (1) Bendras sprendimas turi vaizdą x. = cE. –kt. kur c. - konstanta, kuri gali būti nustatyta, pavyzdžiui, nurodant medžiagos kiekį t. \u003d 0. lygtis nuo pavyzdžio (2) yra ypatingas atvejis lygties (1), tinkama k. \u003d 1/100. Pirminė sąlyga x. \u003d 10 O. t. \u003d 0 suteikia privatų sprendimą x. = 10e. –t./ 100. Lygtis nuo pavyzdžio (4) turi bendrą sprendimą. T. = 70 + cE. –kt. ir privatus sprendimas 70 + 130 - kt. ; Nustatyti vertę k.Papildomi duomenys reikalingi.
Diferencialinė lygtis dy./dX. = x./y. Jis vadinamas pirmosios eilės lygtimi, nes jame yra pirmoji išvestinė priemonė (laikoma, kad diferencialinės lygties tvarka apsvarsto vyresnio amžiaus išvestinių finansinių priemonių tvarka. Dauguma (nors ir ne visi) pirmosios rūšies skirtingos rūšies diferencialinės lygtys per kiekvieną tašką perduoda tik vieną kreivę.
Yra keletas svarbių tipų pirmos eilės diferencialinių lygčių, leidžiančių tirpalams formulėse, kuriose yra tik elementariosios funkcijos - laipsniai, dalyviai, logaritmai, sinai ir kosmenai ir kt. Šios lygtys apima šiuos.
Lygtys su atskyrimo kintamaisiais.
Peržiūrėti lygtis dy./dX. = f.(x.)/g.(y.) galima išspręsti rašydami diferencialus g.(y.)dy. = f.(x.)dX. Ir švirkšti abi dalis. Blogiausiu atveju sprendimas pateikiamas integruojant iš žinomų funkcijų. Pavyzdžiui, lygties atveju dy./dX. = x./y. turėti f.(x.) = x., g.(y.) = y.. Rašyti jį į formą ydy. = xdx. ir švirkštimas, mes gauname y. 2 = x. 2 + c.. Lygtys su atskyrimo kintamais apima lygtis iš pavyzdžių (1), (2), (4) (jie gali būti išspręsta pirmiau aprašytu metodu).
Lygtys visiškai skirtumai.
Jei diferencialinė lygtis turi formą dy./dX. = M.(x.,y.)/N.(x.,y.), kur M. ir. \\ T N. - dvi nurodytos funkcijos, kurias ji gali būti atstovaujama kaip M.(x.,y.)dX. – N.(x.,y.)dy. \u003d 0. Jei kairė pusė yra kai kurių funkcijų skirtumas F.(x.,y.), tada diferencialinė lygtis gali būti parašyta kaip df.(x.,y.) \u003d 0, kuris yra lygiavertis lygimui F.(x.,y.) \u003d Const. Taigi, kreivės sprendimai lygtis yra "linijos nuolatinių lygių" funkcija arba geometrinių taškų taškų, atitinkančių lygtis F.(x.,y.) = c.. Lygtis. \\ T ydy. = xdx. (1 pav.) - su atskyrimo kintamaisiais, ir jis yra visiškai skirtumas: įsitikinkite, kad paskutinį kartą parašykite jį kaip ydy. – xdx. \u003d 0, i.e. d.(y. 2 – x. 2) \u003d 0. Funkcija F.(x.,y.) Šiuo atveju lygus (1/2) ( y. 2 – x. 2); Kai kurios jos pastovios lygios linijos pateiktos Fig. vienas.
Linijinės lygtys.
Linijinės lygtys yra "pirmoji laipsnis" lygtis - nežinoma funkcija ir jos dariniai yra įtraukti į tokias lygtis tik pirmojo laipsnio. Taigi, linijinė diferencialo lygi pirmos eilės turi formą dy./dX. + p.(x.) = q.(x.), kur p.(x.) I. q.(x.) - funkcijos priklauso tik nuo x.. Jo sprendimas visada gali būti parašytas naudojant integralus iš žinomų funkcijų. Daugelis kitų tipų pirmos eilės diferencialinių lygčių yra išspręstos naudojant specialius metodus.
Senesnių užsakymų lygtys.
Daugelis diferencialinių lygčių, su kuria susiduria fizika yra antrosios eilės lygtys (tai yra, lygtis, kuriose yra antrosios išvestinės priemonės) yra tokios, pavyzdžiui, paprasto harmoninio judėjimo lygtys (3), md. 2 x./dT. 2 = –kx.. Apskritai, galima tikėtis, kad antrosios eilės lygtis yra privatūs sprendimai, atitinkantys dvi sąlygas; Pavyzdžiui, galite reikalauti, kad sprendimas dėl kreivės vyksta per šį tašką šia kryptimi. Tais atvejais, kai diferencialinės lygties yra tam tikras parametras (numeris, kurio vertė priklauso nuo aplinkybių), sprendžiant reikiamą tipą egzistuoja tik tam tikromis vertėmis šio parametro. Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį md. 2 x./dT. 2 = –kx. Ir tai mums reikės y.(0) = y.(1) \u003d 0. Funkcija y. є 0 yra akivaizdžiai sprendimas, bet jei yra kelių skaičių p.. k. = m. 2 n. 2 p.2, kur n. - sveikas skaičius ir iš tikrųjų tik šiuo atveju yra ir kitų sprendimų, būtent: y. \u003d Nuodėmė npx.. Parametrų vertės, kuriose lygtis turi specialius sprendimus yra vadinama charakteristika ar eigenvalues; jie žaidžia svarbus vaidmuo Daugeliu iššūkių.
Paprasto harmoninio judėjimo lygtis tarnauja kaip svarbios lygčių klasės pavyzdys, būtent: linijinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Daugiau. bendras pavyzdys (Taip pat antroji tvarka) - lygtis
kur a. ir. \\ T b. - nustatyti nuolatinį, f.(x.) - nurodyta funkcija. Tokios lygtys gali būti išspręstos įvairiais būdais, pavyzdžiui, naudojant "Laplas" integruotą transformaciją. Tą patį galima pasakyti apie linijines lygtis aukštesnių užsakymų su pastoviais koeficientais. Linijinės lygtys su kintamais koeficientais taip pat yra nedidelis.
Netiesinės diferencialinės lygtys.
Lygtys, turinčios nežinomų funkcijų ir jų išvestinių finansinių priemonių iki pirmojo ar sudėtingesnio kelio laipsnio, vadinami netiesiniu. Į pastaraisiais metais Jie pritraukia daugiau dėmesio. Faktas yra tai, kad fizinės lygtys paprastai yra linijinės tik pirmuoju suderinimu; Paprastai ir tiksliau tyrimas reikalauja naudoti netiesines lygtis. Be to, daugelis užduočių yra netiesiniai iš esmės. Kadangi netiesinių lygčių sprendimai dažnai yra labai sudėtingi ir sunku pateikti paprastas formules, didelė šiuolaikinės teorijos dalis skirta kokybinei jų elgesio analizei, t.y. Metodų kūrimas, leidžiantis be išspręsti lygčių, pasakyti kažką reikšmingo apie sprendimų, kaip visumos pobūdžio: pavyzdžiui, kad visi jie yra riboti arba turėti periodinį pobūdį, arba neabejotinai priklauso nuo koeficientų.
Apytikslė diferencialinių lygčių sprendimai gali būti skaičiuojami skaičiais, tačiau užtrunka daug laiko. Su didelės spartos kompiuterių atsiradimu, šis laikas labai sumažėjo, o tai atvėrė naujas daugelio daugelio skaitmeninio sprendimo galimybes, anksčiau nedažnai tokiam sprendimui, užduotims.
Egzistavimo teoremai.
Teoremo egzistavimas vadinamas teorema, tvirtinančia, kad tam tikromis sąlygomis ši diferencinė lygtis turi sprendimą. Yra skirtingų lygčių, kurios neturi sprendimų ar jų daugiau nei tikėtasi. Egzistencijos teorijos paskyrimas yra įtikinti mus, kad ši lygtis tikrai turi sprendimą, ir dažniausiai tikri, kad jis turi tiksliai vieną reikalingo tipo sprendimą. Pavyzdžiui, lygtis jau įvyko mums dy./dX. = –2y. Jis turi tiksliai vieną tirpalą, einantį per kiekvieną plokštumos tašką ( x.,y.), Ir nuo vieno tokio sprendimo mes jau nustatėme, tokiu būdu visiškai išsprendė šią lygtį. Kita vertus, lygtis ( dy./dX.) 2 = 1 – y. 2 turi daug sprendimų. Tarp jų yra tiesiogiai y. = 1, y. \u003d -1 ir kreivės y. \u003d nuodėmė ( x. + c.). Sprendimas gali būti sudarytas iš kelių šių tiesioginių ir kreivių segmentų, perduodami vieni kitiems jutikliniame taškuose (2 pav.).
Diferencialinės lygybės privačių išvestinių finansinių priemonių.
Įprasta diferencialinė lygtis yra tam tikras pareiškimas apie darinio nežinomą vieno kintamojo funkciją. Diferencinė lygtis privačių darinių yra dviejų ar daugiau kintamųjų ir išvestinių finansinių priemonių funkcija iš šios funkcijos bent du skirtingi kintamieji.
Fizikoje tokių lygčių pavyzdžiai yra Laplaso lygtis
X. y.) rato viduje, jei vertės u. Jie yra nurodyti kiekviename ribinio rato taške. Kadangi problemos su daugiau nei vienu fizikos kintama yra gana taisyklė, nei išimtis, lengva įsivaizduoti, kaip iš skirtingų lygčių privačių išvestinių finansinių priemonių teorijos objektas yra lengvai.
Dažnai tik dėl skirtingų lygčių paminėjimas sukelia nemalonų jausmą tarp studentų. Kodėl tai vyksta? Dažniausiai dėl to, kai studijuojant medžiagos pagrindus yra žinių atotrūkis, dėl kurio tolesnis difuri tyrimas tampa tiesiog kankinimu. Nieko nėra aišku, ką daryti, kaip nuspręsti, kur pradėti?
Tačiau mes stengsimės jums parodyti, kad difura nėra tokia sudėtinga, kaip atrodo.
Pagrindinės diferencialinių lygčių teorijos sąvokos
Iš mokyklos mes žinome paprasčiausias lygtis, kuriose jums reikia rasti nežinomą X. Iš tiesų diferencialinės lygtys Tik šiek tiek skiriasi nuo jų - vietoj kintamojo h. Jie turi rasti funkciją. y (x) kuri paverčia lygtį į tapatybę.
Diferencialinės lygtys turi didžiulę taikomąją vertę. Tai nėra abstrakta matematika, kuri neturi jokio ryšio su visame pasaulyje. Naudojant diferencialines lygtis, aprašyti daug realių natūralių procesų. Pavyzdžiui, styginių svyravimai, harmoninio osciliatoriaus judėjimas, taikant diferencialines lygtis mechanikos užduotims, greitis ir pagreitis organizmo yra rasti. Taip pat D. Fokusavimas yra plačiai naudojamas biologijoje, chemijoje, ekonomikoje ir daugelyje kitų mokslų.
Diferencialinė lygtis (D.) - Tai yra lygtis, kurioje yra dariniai y (x), pati funkcija, nepriklausomi kintamieji ir kiti įvairių derinių parametrai.
Yra daug diferencialinių lygčių rūšių: paprastos diferencialinės lygtys, linijinės ir netiesinės, vienodos ir nehomogeninės, diferencialinės lygtys pirmųjų ir aukštesnių užsakymų, difura privačių išvestinių finansinių priemonių ir pan.
Diferencialo lygties sprendimas yra funkcija, kuri ją paverčia tapatybe. DU yra bendri ir privatūs sprendimai.
Bendras sprendimas DU yra bendras sprendimų rinkinys, kuris paverčia lygtį į tapatybę. Ypatingas diferencialinės lygties sprendimas yra sprendimas, atitinkantis iš pradžių nurodytas papildomas sąlygas.
Diferencialo lygties tvarka nustatoma pagal aukščiausią išvestinių finansinių priemonių tvarką.
Įprastos diferencialinės lygtys
Įprastos diferencialinės lygtys - Tai yra lygtis, kuriose yra vienas nepriklausomas kintamasis.
Apsvarstykite paprasčiausią įprastinę pirmosios eilės lygtį. Jis turi formą:
Galima išspręsti tokią lygtį, tiesiog švirkščiant dešinę pusę.
Tokių lygčių pavyzdžiai:
Lygtys su atskyrimo kintamaisiais
Į apskritai. \\ T Ši lygtis atrodo taip:
Pateikite pavyzdį:
Tokios lygties sprendimas, jums reikia padalinti kintamuosius, todėl jį į formą:
Po to ji bus integruojant abi dalis ir gauti sprendimą.
Linijinės diferencialinės pirmosios eilės lygtys
Tokios lygtys atrodo:
Čia p (x) ir q (x) yra tam tikros nepriklausomos kintamojo funkcijos, o y \u003d y (x) yra norima funkcija. Pateikite tokios lygties pavyzdį:
Tokios lygties sprendimas dažniausiai naudoja savavališko pastovaus konstantaus variacijos metodą arba yra pageidaujama funkcija dviejų kitų funkcijų, Y (x) \u003d u (x) v (x) forma.
Siekiant išspręsti tokias lygtis, tam tikras pasirengimas yra būtinas ir juos priimti "nuo įgūdžių" bus gana sudėtinga.
DU sprendimo su atskyrimo kintamaisiais pavyzdys
Taigi peržiūrėjome paprasčiausius tipus. Dabar mes išanalizuosime vieno iš jų sprendimą. Tegul tai yra lygtis su atskiriamais kintamaisiais.
Pirma, perrašykite darinį labiau pažįstamą formą:
Tada mes padaliname kintamuosius, ty vienoje lygties dalyje, mes surinksime visus "Igraki", o kitame - "IKS":
Dabar ji lieka integruoti abi dalis:
Mes integruojame ir gauname bendrą šios lygties sprendimą:
Žinoma, diferencialinių lygčių sprendimas yra toks menas. Jūs turite sugebėti suprasti, kaip yra lygties rūšis, taip pat sužinoti, kaip pamatyti, kokias transformacijas reikia padaryti su juo, kad būtų galima su vienu ar kitu dalyku, jau nekalbant apie gebėjimą atskirti ir integruoti. Ir pavyks sprendžiant du, praktika yra reikalinga (kaip ir viskas). Ir jei turite Šis momentas Nėra laiko spręsti, kaip diferencialinės lygtys ar cauchy užduotis pakilo kaip gerklės kaulų arba jūs nežinote, kaip teisingai pateikti pristatymą, susisiekite su mūsų autoriais. Per trumpą laiką mes suteiksime jums pasiruošęs ir išsamiai sprendimą, kad išspręstume išsamią informaciją bet kuriuo metu jums patogiu. Tuo tarpu siūlome žiūrėti vaizdo įrašą "Kaip išspręsti diferencialines lygtis":
Straipsnio turinys
Diferencialinės lygtys.Daug fizinių įstatymų, kuriems taikomi tam tikri reiškiniai, įrašomi į matematinę lygtį, išreiškiančią tam tikrą priklausomybę nuo tam tikrų vertybių. Dažnai kalbame apie santykį tarp vertybių, skirtingo laiko, pavyzdžiui, variklio efektyvumas, matuojamas atstumu, kurį automobilis gali važiuoti ant vieno kuro kraiko, priklauso nuo transporto priemonės greičio. Atitinkamoje lygtyje yra viena ar daugiau funkcijų ir jų darinių ir vadinama diferencialine lygtimi. (Atstumo pokytis per tam tikrą laiką nustatomas pagal greitį; todėl greitis yra kilęs iš atstumo; panašiai pagreitis yra kilęs iš greičio, nes pagreitis nustato greičio pasikeitimo tempą.) Tai turi diferencialines lygtis matematikai ir ypač jos programas. yra paaiškinami tuo, kad tokių lygčių sprendimas yra sumažintas iki daugelio fizinių ir techninių užduočių tyrimo. Diferencialinės lygtys vaidina svarbų vaidmenį kitų mokslų, pavyzdžiui, biologijos, ekonomikos ir elektrotechnikos; Tiesą sakant, jie atsiranda visur, kur yra kiekybinis (skaitmeninis) reiškinių aprašymas (nuo aplinkinių pasaulio pokyčius laikui bėgant, ir sąlygos pasikeičia iš vienos vietos į kitą).
Pavyzdžiai.
Šie pavyzdžiai leidžia geriau suprasti, kaip skirtingos užduotys yra suformuluotos diferencialinių lygčių kalba.
1) kai kurių radioaktyviųjų medžiagų puvimo įstatymas yra tai, kad skilimo greitis yra proporcingas šios medžiagos grynųjų pinigų sumai. Jeigu x. - medžiagos kiekis tam tikru momentu t.Šis įstatymas gali būti įrašytas taip:
kur dX./dT. - skilimo greitis ir k. - kai kurios teigiamos šios medžiagos apibūdinimo. (Minus ženklas dešinėje yra nurodoma x. mažėja su laiku; Plius ženklas, taip visada, kai ženklas yra aiškiai nenurodytas, tai reikštų x. su laiku.)
2) Iš pradžių talpa yra 10 kg druskų, ištirpintų 100 m 3 vandens. Jei švarus vanduo pilamas į 1 m 3 greitį per minutę ir yra tolygiai sumaišyti su tirpalu, o gautas sprendimas išplaukia iš tos pačios greičio, tada kiek druskų bus į konteinerį bet kuriame vėlesniame laikas? Jeigu x. - druskos kiekis (kg) rezervuare tuo metu t.Tada bet kuriuo metu t. 1 m 3 tirpale yra konteinerio x./ 100 kg druskų; Todėl druskos kiekis sumažėja greičiu x./ 100 kg / min, arba
3) Leiskite masei m., sustabdytas iki pavasario pabaigos, grąžinimo jėga veikia proporcingai spyruoklėms tempimui. Leisti būti x. - kūno nuokrypio dydis nuo pusiausvyros padėties. Tada, pasak Newton antrojo įstatymo, kuris teigia, kad pagreitis (antrasis darinys x. laiku, pažymėta d. 2 x./dT. 2) proporcingai stiprumas:
Dešinėje pusėje yra minuso ženklas, nes grįžta jėga sumažina spyruokles.
4) aušinimo įstaigų įstatymas teigia, kad šilumos kiekis organizme sumažėja proporcingai kūno temperatūros ir aplinkos skirtumui. Jei puodelis kavos pašildytas iki 90 ° C temperatūros yra patalpoje, temperatūra, kuri yra lygi 20 ° C, tada
kur T. - kavos temperatūra laiku t..
5) Valstybinės Bler Foubus užsienio reikalų ministras teigia, kad Lilliputijos priimtos ginklų programa verčia savo šalį kuo labiau padidinti karines išlaidas. Lilliputijos užsienio reikalų ministras taip pat palengvina panašiais pareiškimais. Padėtis, atsirandanti dėl rezultato (paprasčiausio aiškinimu) galima tiksliai apibūdinti dviem diferencialinėmis lygtimis. Leisti būti x. ir. \\ T y. - Lilliputijos ir Blerofus ginkluotės išlaidos. Darant prielaidą, kad lillipatija padidina savo ginklų sąnaudas greičiu, proporcingai didinti ginkluotų fupų kainą ir priešingai, mes gauname:
kur nariai yra kirvis. ir - iki dalies Apibūdinkite kiekvienos šalies karines išlaidas k. ir. \\ T l. - teigiamos konstantos. (Ši užduotis pirmą kartą buvo suformuluota 1939 m L. Ryrhardson.)
Po užduoties įrašoma diferencialinių lygčių kalba, turėtumėte pabandyti juos išspręsti, t. Y. Rasti kiekius, kurių greičiai yra įtraukti į lygtį. Kartais sprendimai yra aiškios formulės forma, tačiau dažniau jie gali būti pateikiami tik apytikslėje formoje arba gauti kokybišką informaciją apie juos. Dažnai sunku nustatyti, ar yra sprendimas, jau nekalbant apie jį rasti. Svarbi skirstomųjų lygčių teorijos dalis yra vadinamoji "egzistavimo teoremai", kurioje pasirodė esąs sprendimas vienoje ar kitoje diferencialinių lygčių tipas.
Pradinė fizinės problemos matematinė formuluotė paprastai yra supaprastintos prielaidos; Jų žvalgybos kriterijus gali būti matematinio sprendimo suderinamumo laipsnis su esamomis pastabomis.
Diferencialinių lygčių sprendimai.
Diferencialinė lygtis, pavyzdžiui dy./dX. = x./y.Tai tenkina ne numerį, bet funkciją, šiuo konkrečiu atveju tokiu atveju toks, kad jo tvarkaraštis bet kuriuo atveju, pavyzdžiui, taške su koordinatėmis (2,3), yra liestinė su kampiniu koeficientu lygus koordinatėms santykiui ( 2/3 pavyzdyje). Tai lengva įsitikinti, kad jei statyti daug taškų ir atidėti trumpą pjovimo su atitinkamu nuolydžiu. Sprendimas bus funkcija, kurios grafikas yra susijęs su kiekvienu atitinkamo segmento tašku. Jei taškai ir segmentai yra gana daug, tada mes galime apytiksliai apibūdinti sprendimų pažangą (trys tokios kreivės nurodytos 1 pav.). Yra tiksliai vienas su kreivės sprendimas, einantis per kiekvieną tašką y. № 0. Kiekvienas atskiras sprendimas vadinamas privačiu diferencialinės lygties sprendimu; Jei galima rasti formulę, kurioje yra visi privatūs sprendimai (išskyrus, galbūt, keliais ypatingais), tada jie sako, kad gaunamas bendras sprendimas. Privatus sprendimas yra viena funkcija, o visa šeima yra visa šeima. Išspręskite diferencialinę lygtį - tai reiškia rasti savo privatų ar bendro sprendimo. Mūsų pavyzdyje bendras sprendimas turi formą y. 2 – x. 2 = c.kur c. - bet koks skaičius; Privatus sprendimas, einantis per tašką (1.1), turi formą y. = x. Ir paaiškėja c. \u003d 0; Privatus sprendimas, einantis per tašką (2.1), turi formą y. 2 – x. 2 \u003d 3. Sąlyga, kuriai reikia, kad verkimo sprendimas vyksta, pavyzdžiui, per tašką (2.1), vadinama pradine sąlyga (kaip nurodoma pradžios taškas dėl kreivės sprendimo).
Galima įrodyti, kad pavyzdyje (1) Bendras sprendimas turi vaizdą x. = cE. –kt. kur c. - konstanta, kuri gali būti nustatyta, pavyzdžiui, nurodant medžiagos kiekį t. \u003d 0. lygtis nuo pavyzdžio (2) yra ypatingas atvejis lygties (1), tinkama k. \u003d 1/100. Pirminė sąlyga x. \u003d 10 O. t. \u003d 0 suteikia privatų sprendimą x. = 10e. –t./ 100. Lygtis nuo pavyzdžio (4) turi bendrą sprendimą. T. = 70 + cE. –kt. ir privatus sprendimas 70 + 130 - kt. ; Nustatyti vertę k.Papildomi duomenys reikalingi.
Diferencialinė lygtis dy./dX. = x./y. Jis vadinamas pirmosios eilės lygtimi, nes jame yra pirmoji išvestinė priemonė (laikoma, kad diferencialinės lygties tvarka apsvarsto vyresnio amžiaus išvestinių finansinių priemonių tvarka. Dauguma (nors ir ne visi) pirmosios rūšies skirtingos rūšies diferencialinės lygtys per kiekvieną tašką perduoda tik vieną kreivę.
Yra keletas svarbių tipų pirmos eilės diferencialinių lygčių, leidžiančių tirpalams formulėse, kuriose yra tik elementariosios funkcijos - laipsniai, dalyviai, logaritmai, sinai ir kosmenai ir kt. Šios lygtys apima šiuos.
Lygtys su atskyrimo kintamaisiais.
Peržiūrėti lygtis dy./dX. = f.(x.)/g.(y.) galima išspręsti rašydami diferencialus g.(y.)dy. = f.(x.)dX. Ir švirkšti abi dalis. Blogiausiu atveju sprendimas pateikiamas integruojant iš žinomų funkcijų. Pavyzdžiui, lygties atveju dy./dX. = x./y. turėti f.(x.) = x., g.(y.) = y.. Rašyti jį į formą ydy. = xdx. ir švirkštimas, mes gauname y. 2 = x. 2 + c.. Lygtys su atskyrimo kintamais apima lygtis iš pavyzdžių (1), (2), (4) (jie gali būti išspręsta pirmiau aprašytu metodu).
Lygtys visiškai skirtumai.
Jei diferencialinė lygtis turi formą dy./dX. = M.(x.,y.)/N.(x.,y.), kur M. ir. \\ T N. - dvi nurodytos funkcijos, kurias ji gali būti atstovaujama kaip M.(x.,y.)dX. – N.(x.,y.)dy. \u003d 0. Jei kairė pusė yra kai kurių funkcijų skirtumas F.(x.,y.), tada diferencialinė lygtis gali būti parašyta kaip df.(x.,y.) \u003d 0, kuris yra lygiavertis lygimui F.(x.,y.) \u003d Const. Taigi, kreivės sprendimai lygtis yra "linijos nuolatinių lygių" funkcija arba geometrinių taškų taškų, atitinkančių lygtis F.(x.,y.) = c.. Lygtis. \\ T ydy. = xdx. (1 pav.) - su atskyrimo kintamaisiais, ir jis yra visiškai skirtumas: įsitikinkite, kad paskutinį kartą parašykite jį kaip ydy. – xdx. \u003d 0, i.e. d.(y. 2 – x. 2) \u003d 0. Funkcija F.(x.,y.) Šiuo atveju lygus (1/2) ( y. 2 – x. 2); Kai kurios jos pastovios lygios linijos pateiktos Fig. vienas.
Linijinės lygtys.
Linijinės lygtys yra "pirmoji laipsnis" lygtis - nežinoma funkcija ir jos dariniai yra įtraukti į tokias lygtis tik pirmojo laipsnio. Taigi, linijinė diferencialo lygi pirmos eilės turi formą dy./dX. + p.(x.) = q.(x.), kur p.(x.) I. q.(x.) - funkcijos priklauso tik nuo x.. Jo sprendimas visada gali būti parašytas naudojant integralus iš žinomų funkcijų. Daugelis kitų tipų pirmos eilės diferencialinių lygčių yra išspręstos naudojant specialius metodus.
Senesnių užsakymų lygtys.
Daugelis diferencialinių lygčių, su kuria susiduria fizika yra antrosios eilės lygtys (tai yra, lygtis, kuriose yra antrosios išvestinės priemonės) yra tokios, pavyzdžiui, paprasto harmoninio judėjimo lygtys (3), md. 2 x./dT. 2 = –kx.. Apskritai, galima tikėtis, kad antrosios eilės lygtis yra privatūs sprendimai, atitinkantys dvi sąlygas; Pavyzdžiui, galite reikalauti, kad sprendimas dėl kreivės vyksta per šį tašką šia kryptimi. Tais atvejais, kai diferencialinės lygties yra tam tikras parametras (numeris, kurio vertė priklauso nuo aplinkybių), sprendžiant reikiamą tipą egzistuoja tik tam tikromis vertėmis šio parametro. Pavyzdžiui, apsvarstykite lygtį md. 2 x./dT. 2 = –kx. Ir tai mums reikės y.(0) = y.(1) \u003d 0. Funkcija y. є 0 yra akivaizdžiai sprendimas, bet jei yra kelių skaičių p.. k. = m. 2 n. 2 p.2, kur n. - sveikas skaičius ir iš tikrųjų tik šiuo atveju yra ir kitų sprendimų, būtent: y. \u003d Nuodėmė npx.. Parametrų vertės, kuriose lygtis turi specialius sprendimus yra vadinama charakteristika ar eigenvalues; Jie atlieka svarbų vaidmenį daugelyje užduočių.
Paprasto harmoninio judėjimo lygtis tarnauja kaip svarbios lygčių klasės pavyzdys, būtent: linijinės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais. Bendrasis pavyzdys (taip pat antroji eilutė) - lygtis
kur a. ir. \\ T b. - nustatyti nuolatinį, f.(x.) - nurodyta funkcija. Tokios lygtys gali būti išspręstos įvairiais būdais, pavyzdžiui, naudojant "Laplas" integruotą transformaciją. Tą patį galima pasakyti apie linijines lygtis aukštesnių užsakymų su pastoviais koeficientais. Linijinės lygtys su kintamais koeficientais taip pat yra nedidelis.
Netiesinės diferencialinės lygtys.
Lygtys, turinčios nežinomų funkcijų ir jų išvestinių finansinių priemonių iki pirmojo ar sudėtingesnio kelio laipsnio, vadinami netiesiniu. Pastaraisiais metais jie pritraukia vis daugiau dėmesio. Faktas yra tai, kad fizinės lygtys paprastai yra linijinės tik pirmuoju suderinimu; Paprastai ir tiksliau tyrimas reikalauja naudoti netiesines lygtis. Be to, daugelis užduočių yra netiesiniai iš esmės. Kadangi netiesinių lygčių sprendimai dažnai yra labai sudėtingi ir sunku pateikti paprastas formules, didelė šiuolaikinės teorijos dalis skirta kokybinei jų elgesio analizei, t.y. Metodų kūrimas, leidžiantis be išspręsti lygčių, pasakyti kažką reikšmingo apie sprendimų, kaip visumos pobūdžio: pavyzdžiui, kad visi jie yra riboti arba turėti periodinį pobūdį, arba neabejotinai priklauso nuo koeficientų.
Apytikslė diferencialinių lygčių sprendimai gali būti skaičiuojami skaičiais, tačiau užtrunka daug laiko. Su didelės spartos kompiuterių atsiradimu, šis laikas labai sumažėjo, o tai atvėrė naujas daugelio daugelio skaitmeninio sprendimo galimybes, anksčiau nedažnai tokiam sprendimui, užduotims.
Egzistavimo teoremai.
Teoremo egzistavimas vadinamas teorema, tvirtinančia, kad tam tikromis sąlygomis ši diferencinė lygtis turi sprendimą. Yra skirtingų lygčių, kurios neturi sprendimų ar jų daugiau nei tikėtasi. Egzistencijos teorijos paskyrimas yra įtikinti mus, kad ši lygtis tikrai turi sprendimą, ir dažniausiai tikri, kad jis turi tiksliai vieną reikalingo tipo sprendimą. Pavyzdžiui, lygtis jau įvyko mums dy./dX. = –2y. Jis turi tiksliai vieną tirpalą, einantį per kiekvieną plokštumos tašką ( x.,y.), Ir nuo vieno tokio sprendimo mes jau nustatėme, tokiu būdu visiškai išsprendė šią lygtį. Kita vertus, lygtis ( dy./dX.) 2 = 1 – y. 2 turi daug sprendimų. Tarp jų yra tiesiogiai y. = 1, y. \u003d -1 ir kreivės y. \u003d nuodėmė ( x. + c.). Sprendimas gali būti sudarytas iš kelių šių tiesioginių ir kreivių segmentų, perduodami vieni kitiems jutikliniame taškuose (2 pav.).
Diferencialinės lygybės privačių išvestinių finansinių priemonių.
Įprasta diferencialinė lygtis yra tam tikras pareiškimas apie darinio nežinomą vieno kintamojo funkciją. Diferencinė lygtis privačių darinių yra dviejų ar daugiau kintamųjų ir išvestinių finansinių priemonių funkcija iš šios funkcijos bent du skirtingi kintamieji.
Fizikoje tokių lygčių pavyzdžiai yra Laplaso lygtis
X. y.) rato viduje, jei vertės u. Jie yra nurodyti kiekviename ribinio rato taške. Kadangi problemos su daugiau nei vienu fizikos kintama yra gana taisyklė, nei išimtis, lengva įsivaizduoti, kaip iš skirtingų lygčių privačių išvestinių finansinių priemonių teorijos objektas yra lengvai.
Diferencialinės lygtys - matematikos skyrius, kuriame studijuojančios lygčių sprendimo ir metodų, kuriuose yra norima funkcija ir jų dariniai įvairių užsakymų vienas argumentas (paprastas diferencialas) arba keliais argumentais (diferencialinių lygčių privačių išvestinių finansinių priemonių). Diferencialinės lygtys yra plačiai naudojamos praktikoje, ypač siekiant apibūdinti trumpalaikius procesus.
Diferencialinių lygčių teorija - matematikos dalis, užsiimanti skirtingų lygčių ir susijusių užduočių tyrime. Jų rezultatai naudojami daugelyje gamtos mokslų, ypač plačios fizikos.
Paprasčiau pasakius, diferencialinė lygtis - Ši lygta, kurioje nežinoma vertė yra tam tikra funkcija. Šioje lygtyje yra ne tik nežinoma funkcija, bet ir įvairios išvestinės priemonės. Diferencinė lygtis apibūdina ryšį tarp nežinomos funkcijos ir jo darinių. Tokie ryšiai randami įvairiose žinių srityse: mechanikoje, fizikoje, chemijoje, biologijoje, ekonomikoje ir kt.
Yra įprastų skirtingų lygčių ir skirtingų lygčių privačių darinių. Nesveikos diferencialinės lygtys yra sudėtingesnės.
Pirma, diferencialinės lygtys atsirado iš mechanikos užduočių, kuriose dalyvavo įstaigų koordinatės, jų greitis ir pagreitis, laikomi dalyvavais funkcijomis.
Diferencialinė lygtis vadinama sudėtinga kvadratuoseJei užduotis rasti visus klijavimo sankryžos gali būti sumažintas apskaičiuojant baigtinį skaičių integralų iš žinomų funkcijų ir paprastų algebrinių operacijų.
Istorija
Leonard Euler.
Joseph-Louis Lagrange
Pierre Simon Laplace.
Joseph Lioville.
Henri Poincare.
Diferencialinės lygtys išrado Newton (1642-1727). Niutonas nusprendė, kad jo išradimas taip svarbu, kad jis būtų užšifruotas į anagrama, kurio reikšmė šiuolaikinėmis sąlygomis gali būti laisvai perduodami taip: "Gamtos įstatymai išreiškiami diferencialinėmis lygtimis".
Pagrindinis Analitinis "Niutono" analitinis pasiekimas buvo visų rūšių funkcijų skilimas į galios seriją (antros prasmės prasmė, ilgas Anagramas Niutonas yra tai, kad išspręstų bet kokią lygtį, būtina pakeisti tam tikrą lygtį ir prilyginti to paties nariams mastu). Ypač svarbu buvo Binoma Niutono formulė (žinoma ne tik su sveikaisiais rodikliais, kuriems formulė žinojo, pavyzdžiui, Viet (1540-1603), bet taip pat, kuris yra ypač svarbus su daliniais ir neigiamais rodikliais). "Newton" padėjo visas pagrindines "Taylor" elementacines funkcijas "Taylor eilutėse, kartu su primityviomis stalu, kurį sukūrė jo (kuris perkeltas beveik nepakitusiomis formomis Šiuolaikiniai vadovėliai Analizė), leido jam, pasak jo, palyginti bet kokių skaičių "pusę ketvirtadaliu valandos".
Niutonas nurodė, kad jos eilės koeficientai yra proporcingi nuosekliai funkcijos dariniui, tačiau išsamiai nesustos, nes ji teisingai tikėjo, kad visi analizės skaičiavimai buvo patogesni, nesilaikant daugelio diferenciacijos pagalbos, bet Apskaičiuojant pirmuosius serijos narius. Dėl Niutono, ryšys tarp serijos koeficientų ir išvestinių finansinių priemonių buvo gana apskaičiuojant išvestines finansines priemones nei numerio sudarymo priemonės. Vienas iš svarbiausių Niutono pasiekimų yra jo teorija saulės sistema"natūralios filosofijos matematiniais principais" ("Principia") be matematinės analizės pagalbos. Paprastai manoma, kad Niutonas atidarė pasaulinio sunkumo įstatymą su jo analizės pagalba. Tiesą sakant, Niutonas (1680) priklauso tik iš orbitų elipsės įrodymui traukos srityje pagal atvirkštinio kvadratų įstatymą: "Newton Google" (1635-1703) buvo nurodyta ši teisė (1635-1703) ir, galbūt keletas Daugiau mokslininkų buvo atspėti.
Nuo daugelio XVIII a. Kūrinių, Euler (1707-1783) ir Lagrange (1736-1813) skiriamos skirtingų lygčių (1736-1813). Šiuose darbuose buvo sukurta mažų svyravimų teorija, todėl linijinių sistemų teorija; Pakeliui, buvo pagrindinės sąvokos linijinės algebra (nuosavi skaičiai ir vektoriai N-dimensyvų byloje). Linijinio operatoriaus būdinga lygtis buvo ilgai vadinama pasaulietinė, nes tiksliai iš tokios lygties nustatomos pasaulietinės (su amžiumi susijusios, t. Y. lėtai, palyginti su planetos orbitų permatūtumu), atsižvelgiant į mažų lagrance virpesių teoriją. Po "Newton Laplace" ir "Lagrange", o vėliau Gausas (1777-1855) taip pat plėtoja sutrikimų teorijos metodus.
Įrodant, kad buvo įrodyta, kad buvo įrodyta algebrinės lygtis radikaluose, buvo įrodyta, Joseph Lioville (1809-1882) pastatė panašią teoriją diferencialinių lygčių, nustatant negalima išspręsti lygtis (visų pirma, klasikinės kaip linijinės lygtys antrosios eilės) elementaruose Funkcijos ir kvadratai. Vėliau, Sofus Lee (1842-1899), išanalizuojant integruojančių lygčių kvadratuose klausimą, atėjo į poreikį ištirti diafomorfizmo grupes išsamiai (gavo melo grupių pavadinimą) - tai ant diferencialinių lygčių teorija, vienas Iš vaisingausių šiuolaikinių matematikos sričių atsirado, tolesnis vystymasis buvo glaudžiai susijęs su kitais klausimais (Li Algebras laikė Simeon-Denis Poisson (1781-1840) ir ypač Karl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) ).
Naujas diferencinių lygčių teorijos plėtros etapas prasideda nuo Henri Poincaré (1854-1912) kūrinių, kuriuos sukūrė "kokybinė diferencialinių lygčių teorija" kartu su sudėtingų kintamųjų funkcijų teorija lėmė šiuolaikiniam pagrindui topologija. Kokybinė diferencialinių lygčių teorija, ar dabar ji yra labiau vadinama, dinamiškų sistemų teorija dabar plėtoja aktyviai ir turi svarbiausią naudojimo būdą nuo skirtingų lygčių gamtos mokslų teorijos.
Įprastos diferencialinės lygtys
Įprastos diferencialinės lygtys - tai yra formos lygtys F. (t., x., x. ", x. "",..., x.(n.)) = 0 kur x. = x. (t.) - nežinoma funkcija (galbūt vektoriaus funkcija; šiuo atveju jie dažnai kalba apie diferencialinių lygčių sistemą), priklausomai nuo kintamo laiko t. , sandoris reiškia diferenciaciją t. . Skaičius n. Tai vadinama diferencialinės lygties tvarka.
Diferencialo lygties sprendimas (arba tirpalas) yra funkcija, diferencijuoja n kartus ir tenkina lygtį visuose jo apibrėžimo srities taškuose. Paprastai yra tokių funkcijų rinkinys, ir pasirinkti vieną iš sankryžų, kurių reikia norint nustatyti papildomas sąlygas: pavyzdžiui, būtina reikalauti, kad sprendimai būtų tam tikra vertė tam tikru požiūriu.
Pagrindinės skirtumų lygčių teorijos užduotys ir rezultatai: įvairių ODU užduočių sprendimo egzistavimas ir unikalumas, Rosazanne paprasto ODU metodai, kokybinis ODE sprendimų tyrimas, nerandant jų aiškių rūšių.
Diferencialinės privačių išvestinių finansinių priemonių lygtys
Diferencialinės privačių išvestinių finansinių priemonių lygtys - Tai yra lygtis, kuriose yra nežinomų funkcijų iš kelių kintamųjų ir jų privačių išvestinių finansinių priemonių.
Bendra tokių lygčių išvaizda gali būti atstovaujama kaip:
,kur - nepriklausomi kintamieji ir šių kintamųjų funkcija.
Netiesinės diferencialinės lygtys
Netiesinės diferencialinės lygtys - matematikos skyrius, kuriame studijuojančios netiesinių lygčių sprendimo teoriją ir metodus, kuriuose yra pageidaujama funkcija ir jų dariniai įvairūs vienos argumento (įprastiniai netiesiniai diferencialai) arba kelios argumentai (netiesinės diferencialinės lygtys privačių išvestinių finansinių priemonių). Diferencialinės lygtys yra plačiai naudojamos praktikoje, ypač siekiant apibūdinti trumpalaikius procesus.
Netiesinės diferencialinių lygčių teorija yra matematikos dalis, užsiimanti skirtingų lygčių ir susijusių užduočių tyrime. Jų rezultatai naudojami daugelyje gamtos mokslų: mechanika, fizika, termoplastika, optika.
Netiesinė diferencialinė lygtis yra lygtis, kurioje kai kurios funkcijos yra nežinoma vertė. Diferencialinėje lygtyje dalyvauja ne tik nežinoma funkcija, bet ir įvairios netiesinės formos dariniai. Netiesinė diferencialinė lygtis apibūdina ryšį tarp nežinomos funkcijos ir jo darinių. Tokie ryšiai randami įvairiose žinių srityse: mechanikoje, fizikoje, chemijoje, biologijoje, ekonomikoje ir kt.
Išskiriamos įprastos netiesinės diferencialinės lygtys ir netiesinės diferencialinės lygtys privačių išvestinių finansinių priemonių.
Netiesinės diferencialinės lygtys kilo iš netiesinės mechanikos problemų, kuriose dalyvavo įstaigų koordinatės, jų greitis ir pagreitis, laikoma laiko funkcijomis.
Pavyzdžiai. \\ T
- Antroji Niutono teisė gali būti parašyta diferencialinės lygties forma
,
kur m. - kūno masė, x. - jos koordinatė, F. (x., t.) - jėga, veikianti ant kūno su koordinatėmis x. Tuo metu t. . Jo sprendimas yra kūno judėjimo trajektorija pagal nurodytą jėgą.
- Stygos vibracijas pateikia lygtis
,
kur u. = u. (x., t.) - eilutės nuokrypis taške su koordinatėmis x. Tuo metu t. , Parametras a. Nurodo eilutės savybes.