Triunghiul este unul dintre cele mai comune forme geometrice, cu care suntem familiarizați în școală primară. Întrebarea cum să găsești aria unui triunghi se confruntă de fiecare student la lecțiile de geometrie. Deci, care sunt caracteristicile găsirii zonei unei cifre date care pot fi distinse? În acest articol, vom lua în considerare formulele de bază necesare pentru a finaliza o astfel de sarcină și, de asemenea, vom analiza tipurile de triunghiuri.
Tipuri de triunghiuri
Puteți găsi aria unui triunghi în moduri complet diferite, deoarece în geometrie există mai mult de un tip de figură care conține trei unghiuri. Aceste tipuri includ:
- obtuz.
- Echilateral (corect).
- Triunghi dreptunghic.
- Isoscel.
Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre ele tipurile existente triunghiuri.
O astfel de figură geometrică este considerată cea mai comună în rezolvarea problemelor geometrice. Când devine necesar să desenați un triunghi arbitrar, această opțiune vine în ajutor.
Într-un triunghi ascuțit, după cum sugerează și numele, toate unghiurile sunt acute și se adună până la 180°.
Un astfel de triunghi este, de asemenea, foarte comun, dar este oarecum mai puțin comun decât un triunghi acut. De exemplu, atunci când rezolvați triunghiuri (adică știți mai multe dintre laturile și unghiurile sale și trebuie să găsiți elementele rămase), uneori trebuie să determinați dacă unghiul este obtuz sau nu. Cosinusul este un număr negativ.
În valoarea unuia dintre unghiuri depășește 90°, astfel încât celelalte două unghiuri pot lua valori mici (de exemplu, 15° sau chiar 3°).
Pentru a găsi aria unui triunghi de acest tip, trebuie să cunoașteți câteva dintre nuanțe, despre care vom vorbi în continuare.
Triunghiuri regulate și isoscele
Un poligon regulat este o figură care include n unghiuri, în care toate laturile și unghiurile sunt egale. Acesta este triunghiul dreptunghic. Deoarece suma tuturor unghiurilor unui triunghi este de 180°, fiecare dintre cele trei unghiuri este de 60°.
Triunghiul dreptunghic, datorită proprietății sale, este numit și figură echilaterală.
De asemenea, este de remarcat faptul că un singur cerc poate fi înscris într-un triunghi obișnuit și un singur cerc poate fi circumscris în jurul lui, iar centrele lor sunt situate într-un punct.
Pe lângă tipul echilateral, se poate distinge și un triunghi isoscel, care diferă ușor de acesta. Într-un astfel de triunghi, două laturi și două unghiuri sunt egale între ele, iar a treia latură (de care se învecinează unghiuri egale) este baza.
Figura prezintă un triunghi isoscel DEF, ale cărui unghiuri D și F sunt egale, iar DF este baza.
Triunghi dreptunghic
Un triunghi dreptunghic este numit astfel deoarece unul dintre unghiurile sale este un unghi drept, adică egal cu 90°. Celelalte două unghiuri se adună până la 90°.
Cel mai petrecere mare al unui astfel de triunghi, situat opus unui unghi de 90 ° este ipotenuza, în timp ce celelalte două laturi ale sale sunt catetele. Pentru acest tip de triunghiuri se aplică teorema lui Pitagora:
Suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
Figura prezintă un triunghi dreptunghic BAC cu ipotenuza AC și catetele AB și BC.
Pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi drept, trebuie să cunoașteți valorile numerice ale catetelor sale.
Să trecem la formulele pentru găsirea ariei unei figuri date.
Formule de bază pentru găsirea zonei
În geometrie, se pot distinge două formule care sunt potrivite pentru găsirea ariei celor mai multe tipuri de triunghiuri, și anume pentru triunghiuri cu unghi ascuțit, cu unghi obtuz, regulat și isoscel. Să analizăm fiecare dintre ele.
După lateral și înălțime
Această formulă este universală pentru găsirea zonei figurii pe care o luăm în considerare. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți lungimea laturii și lungimea înălțimii trasate pe ea. Formula în sine (jumătate din produsul bazei și înălțimea) este următoarea:
unde A este latura triunghiului dat și H este înălțimea triunghiului.
De exemplu, pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi ascuțit ACB, trebuie să înmulțiți latura AB cu înălțimea CD și să împărțiți valoarea rezultată la două.
Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să găsiți aria unui triunghi în acest fel. De exemplu, pentru a utiliza această formulă pentru un triunghi obtuz în unghi, trebuie să continuați una dintre laturile sale și abia apoi să desenați o înălțime la ea.
În practică, această formulă este folosită mai des decât altele.
Două laturi și un colț
Această formulă, ca și cea anterioară, este potrivită pentru majoritatea triunghiurilor și, în sensul ei, este o consecință a formulei de găsire a ariei de latura și înălțimea unui triunghi. Adică formula luată în considerare poate fi derivată cu ușurință din cea anterioară. Formularea lui arată astfel:
S = ½*sinO*A*B,
unde A și B sunt laturile triunghiului și O este unghiul dintre laturile A și B.
Amintiți-vă că sinusul unui unghi poate fi vizualizat într-un tabel special numit după remarcabilul matematician sovietic V. M. Bradis.
Și acum să trecem la alte formule care sunt potrivite doar pentru tipuri excepționale de triunghiuri.
Aria unui triunghi dreptunghic
Pe lângă formula universală, care include necesitatea de a desena o înălțime într-un triunghi, aria unui triunghi care conține un unghi drept poate fi găsită din picioarele sale.
Deci, aria unui triunghi care conține un unghi drept este jumătate din produsul catetelor sale sau:
unde a și b sunt catete triunghi dreptunghic.
triunghi dreptunghic
Acest tip figurile geometrice diferă prin faptul că aria sa poate fi găsită cu valoarea specificată doar a uneia dintre laturile sale (deoarece toate laturile unui triunghi obișnuit sunt egale). Deci, după ce ați îndeplinit sarcina de a „găsi aria unui triunghi când laturile sunt egale”, trebuie să utilizați următoarea formulă:
S = A 2 *√3 / 4,
unde A este latura triunghi echilateral.
Formula lui Heron
Ultima opțiune pentru găsirea ariei unui triunghi este formula lui Heron. Pentru a-l folosi, trebuie să cunoașteți lungimile celor trei laturi ale figurii. Formula lui Heron arată astfel:
S = √p (p - a) (p - b) (p - c),
unde a, b și c sunt laturile triunghiului dat.
Uneori, sarcina este dată: „aria unui triunghi obișnuit este de a găsi lungimea laturii sale”. ÎN acest caz trebuie să folosiți formula deja cunoscută de noi pentru a găsi aria unui triunghi obișnuit și să obțineți din aceasta valoarea laturii (sau pătratul său):
A 2 \u003d 4S / √3.
Probleme de examen
Există multe formule în sarcinile GIA în matematică. În plus, destul de des este necesar să găsiți aria unui triunghi pe hârtie în carouri.
În acest caz, cel mai convenabil este să desenați înălțimea pe una dintre laturile figurii, să determinați lungimea acesteia prin celule și să utilizați formula universală pentru găsirea zonei:
Deci, după ce ați studiat formulele prezentate în articol, nu veți avea probleme în a găsi aria unui triunghi de orice fel.
Metoda coordonatelor, propusă în secolul al XVII-lea de matematicienii francezi R. Descartes (1596-1650) și P. Fermat (1601-1665), este un instrument puternic care vă permite să traduceți concepte geometrice în limbaj algebric. Această metodă se bazează pe conceptul de sistem de coordonate. Vom lua în considerare calculul ariei unui poligon prin coordonatele vârfurilor sale într-un sistem de coordonate dreptunghiular.
Aria unui triunghi
Teorema 1. Dacă este aria triunghiului
apoi egalitatea
va fi numit determinantul ariei unui triunghi.
Dovada. Fie ca vârfurile triunghiului să fie situate în primul sfert de coordonate. Două cazuri sunt posibile.
Cazul 1. Direcția (sau, sau) a locației vârfurilor triunghiului coincide cu direcția de mișcare a sfârșitului acelui orelor (Fig. 1.30).
Deoarece figura este un trapez.
În mod similar, găsim că
După ce au efectuat transformări algebrice
obținem că:
În egalitatea (1.9) există un determinant al ariei, deci există un semn minus în fața expresiei, deoarece.
Să arătăm asta. Într-adevăr, aici
(aria unui dreptunghi cu o bază și o înălțime este mai mare decât suma ariilor dreptunghiurilor cu baze și înălțimi, ; (Fig. 1.30), de unde
Cazul 2. Direcțiile indicate în cazul 1 sunt opuse direcției de mișcare a anunțului de sfârșit al orelor (Fig. 1.31)
întrucât figura este un trapez și
Unde. Într-adevăr, aici
Teorema se demonstrează când vârfurile triunghiului sunt situate în primul cadran de coordonate.
Folosind conceptul de modul, egalitățile (1.9) și (1.10) pot fi scrise după cum urmează:
Observație 1. Am derivat formula (1.8) luând în considerare cea mai simplă aranjare a vârfurilor prezentată în figurile 1.30 și 1.31; cu toate acestea, formula (1.8) este adevărată pentru orice aranjament de vârfuri.
Luați în considerare cazul prezentat în Figura 1.32.
Prin urmare, după efectuarea unor transformări geometrice simple:
primim din nou ce, unde
Aria unui n-gon
Poligonul poate fi convex sau neconvex, ordinea de numerotare a vârfurilor este considerată negativă dacă vârfurile sunt numerotate în sensul acelor de ceasornic. Un poligon care nu are laturi care se intersectează automat va fi numit simplu. Pentru un simplu n-gon următoarele ține
Teorema 2. Dacă este aria unui prim n-gon, unde, apoi egalitatea
va fi numit determinantul ariei unui prim n-gon.
Dovada. Două cazuri sunt posibile.
Cazul 1. n-gon - convex. Să demonstrăm formula (1.11) prin metoda inducției matematice.
Căci a fost deja demonstrat (Teorema 1). Presupunem că este valabil pentru n-pătrat; să demonstrăm că rămâne valabil pentru un convex ( n+1)-gon.
Să mai adăugăm un vârf la poligon (Fig. 1.33).
Astfel, formula este valabilă pentru ( n+1)-gon și, prin urmare, sunt îndeplinite condițiile inducției matematice, adică formula (1.11) pentru cazul unei convexe n-gon este dovedit.
Cazul 2. n-gon - neconvex.
În orice neconvex n-gon, se poate desena o diagonală aflată în interiorul ei și, prin urmare, dovada cazului 2 pentru un neconvex n-gon este similar cu demonstrația pentru un convex n-gon.
Observația 2. Expresiile pentru nu sunt ușor de reținut. Prin urmare, pentru a calcula valorile sale, este convenabil să scrieți în coloană coordonatele primului, al doilea, al treilea, ..., n al doilea și din nou primele vârfuri n-gon și efectuează înmulțirea după schema:
Semnele din coloana (1.12) trebuie aranjate conform indicațiilor din schema (1.13).
Observația 3. Când compilați coloana (1.12) pentru un triunghi, puteți începe de la orice vârf.
Observația 4. La compilarea coloanei (1.12) pentru n-gon () trebuie să urmați succesiunea de a scrie coordonatele vârfurilor n-gon (de la care vârf pentru a începe bypass-ul este indiferent). Deci calculul suprafeței n-gon ar trebui să înceapă cu construcția unui desen „aspre”.